ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ξέρουμε ότι: το ορισμένο ολοκλήρωμα $\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx$ είναι σταθερός αριθμός.
Δηλαδή $\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx =c, \quad c\in \rr,$ οπότε θα ισχύει: $\bigg(\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx\bigg)'=0.$
Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε μια ισότητα $I$ η οποία περιέχει τις $f(x),$ $f(x)$ και το $\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx$ και θέλουμε να βρούμε την $f$ τότε:

Θέτουμε $c=\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx \quad (1.)$

Αντικαθιστούμε στη σχέση $I$ το $\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx$ με το $c$

Βρίσκουμε την συνάρτηση $f$ συναρτήσει του $c$ και

Την αντικαθιστούμε στη σχέση (1).

Παράδειγμα.1.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ για την οποία ισχύει

$f(0)=2 \quad \text{και} \quad f'(x)=\int_{0}^{1}f(t)dt$

για κάθε $x\in\rr$ . Να βρείτε το τύπο της $f.$
Λύση
Έστω ότι είναι:

$\int_{0}^{1}f(t)dt=c \in\rr$

Τότε για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f'(x)=c \Leftrightarrow\\ &f'(x)=(c\cdot x)' \Leftrightarrow\\ &f(x)=c\cdot x +c_{1} \end{align*}$

Όμως είναι:

$f(0)=2 \Leftrightarrow c\cdot 0 +c_{1} =2 \Leftrightarrow c_{1}=2.$

Έτσι η $f(x) =c\cdot x+2$ οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται:

$\begin{align*} &c=\int_{0}^{1}f(t)dt\Leftrightarrow\\\\ &c=\int_{0}^{1}(c\cdot t +2)dt \Leftrightarrow\\\\ &c=\Big{[}\frac{c\cdot t^2}{2}+2t\Big{]}^{1}_{0}\Leftrightarrow\\\\ &c=\frac{c}{2}+2 \Leftrightarrow\\\\ &c=4 \end{align*}$

Επομένως για κάθε $x\in\rr$ είναι:

$f(x)=4x+2$

Παράδειγμα.2. Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\rr \to \rr$ με $f(0)=1.$ Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης $f$ αν ισχύει:

$f'(x) = \int_{0}^{1} f(x)dx -f(x), \quad x \in \rr.$

Λύση
Θέτουμε $\dint_{0}^{1} f(x)dx =c \quad (1).$
Οπότε για κάθε $x \in \rr,$ θα ισχύει:

$\begin{align*} &f'(x) = \int_{0}^{1} f(x)dx -f(x)\xRightarrow[\text{}]{(1)}\\\\ &f'(x) =c -f(x) \Rightarrow \\\\ &f'(x) +f(x) = c \Rightarrow \\\\ &e^{x}\cdot f'(x) + e^{x} \cdot f(x) = c\cdot e^{x} \Rightarrow \\\\ &e^{x}\cdot f'(x) + \Big(e^{x}\Big)' \cdot f(x) = \Big(c\cdot e^{x}\Big)' \Rightarrow \\\\ &\Big( e^{x}f(x)\Big)'= \Big(c\cdot e^{x}\Big)' \Rightarrow \\\\ & e^{x}f(x) =c\cdot e^{x} +c_{1}\Rightarrow \\\\ &e^{-x}\cdot e^{x}f(x) =e^{-x}\cdot c\cdot e^{x} + e^{-x}\cdot c_{1}\Rightarrow \\\\ &f(x) = c + e^{-x}\cdot c_{1} \,\, (2) \end{align*}$

Επειδή

$f(0)=1\xRightarrow[\text{}]{(2)}c + c_{1} =1\Rightarrow c_{1} =1-c\, (3).$

Επομένως

$(2)\xRightarrow[\text{}]{(3)} f(x) = c + e^{-x}\cdot (1-c)\,\, (4).$

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1) μπορούμε να υπολογίσουμε την σταθερά $c,$ δηλ.

$\begin{align*} &c=\int_{0}^{1}\Big[ c + e^{-x}\cdot (1-c)\Big] dx \\\\ &c =\int_{0}^{1}\Big[ c\cdot x + e^{-x}\cdot (c-1)\Big]'dx \\\\ & c = \Big[ c\cdot x + e^{-x}\cdot (c-1)\Big]_{0}^{1} \\\\ & c = c + e (c-1) - 1\cdot (c-1) \\\\ & 0 = (c-1)\cdot (e-1) \\\\ & c =1. \end{align*}$

Aπο την σχέση (3) βρίσκουμε $c_{1} =1-1 =0$

Τελος απο τη σχέση (4) για $c =1$ και $c_{1} = 0$ βρίσκουμε:

$f(x) = 1+ e^{-x}\cdot 0$

δηλαδή $f(x) =1.$

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά