Στις περιπτώεις που έχουμε αναγωγικό τύπο στο ορισμένο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε την μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
Παράδειγμα.
Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα:
![\[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx \quad \text{με } \,\,\, \nu \in \mathbb{N^{*}}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fdd7befe333d448b219449c4ecd3c56b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
i) Να αποδείξετε ότι:
για κάθε 
ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
και 
Λύση
Ισχύει ότι:
![\[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot \big(e^{x}\big)' \, dx =\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3347605ca61301ae4b1d5859734e411_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{align*} &\Big[ x^{\nu}e^{x}\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(x^{\nu})'\cdot e^{x}\, dx =\\\\ &\Big[ x^{\nu}e^{x}\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\nu\cdot x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &\Big[ \big(1^{\nu}e^{1}\big) -\big(0^{\nu}e^{0}\big)\Big] - \nu\cdot \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e-0 - \nu\cdot \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e- \nu\cdot \int_{0}^{1}x^{\nu-1} \cdot e^{x}\, dx =\\\\ &e -\nu I_{\nu-1}. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e2babfdbe87cbe710d711d97adb3a34_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ii_a) Για τον υπολογισμό θα κάνουμε χρήση της παραγοντικής ολοκλήρωσης,
Εχουμε ότι 
οπότε:
![\begin{align*} \int_{0}^{1} x\cdot e^{x}dx = &\dint_{0}^{1} x\cdot \Big(e^{x}\Big)'dx = \\\\ &=\Big[ x \cdot e^{x} \Big]_{0}^{1} - \dint_{0}^{1} (x)'\cdot e^{x}dx = \\\\ & =(1\cdot e^{1})- (0\cdot e^{0}) -\dint_{0}^{1} 1 \cdot e^{x}dx = \\\\ &= e -\dint_{0}^{1} e^{x}dx = \\\\ &=e -\Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = \\\\ &= e -(e^{1} -e^{0}) = e - e +1 =1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5697eae36d169d1f480b0f458595aa5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
iib_)Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος θα κάνουμε χρήση του αναγωγικού τύπου που βρίκαμε στο i) δηλαδή:
![\[I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1},\,\, \nu \geq 2.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57948777c5029fe2b134aa751a20936a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Επειδή 
έχουμε
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .