Στο ορισμένο ολοκλήρωμα που ακολουθεί, θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του τεχνάσματος της προσθαφαίρεσης της εκθετικής συνάρτησης
![\[{\bf{e^{x}}}.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-574212eff480ad7788d103eeabbc3830_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
![\[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b06abfe372bf47e26cde0dadf2565d12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε
![\begin{align*} Ι = &\int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx= \int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \ln (1+e^{x}) dx =\\\\ &\int_{0}^{1} \Big(-e^{-x}\Big)'\cdot \ln (1+e^{x}) dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} -e^{-x}\cdot \Big(\ln (1+e^{x})\Big)' dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \Big(\ln (1+e^{x})\Big)'dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} e^{-x}\cdot \dfrac{1}{1+e^{x}}\cdot\Big(1+e^{x} \Big)'dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x} }{1+e^{x}}\cdot e^{x} dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}\cdot e^{x} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x+x} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{e^{0} }{1+e^{x}}dx =\\\\ & \Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1} \dfrac{1 }{1+e^{x}}dx \,\,(1.) \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-849ad73f3a00ad51f27624363346c1c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Για τον υπολογισμο του παραπάνω ορισμένου ολοκληρώματος θα κάνουμε το τέχνασμα της προσθαφαίρεσης της εκθετικής 
δηλαδή
![\begin{align*} \int_{0}^{1} \dfrac{1 }{1+e^{x}}dx = & \int_{0}^{1} \dfrac{1+ e^{x}-e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\ & \int_{0}^{1} \dfrac{1+ e^{x}}{1+e^{x}}-\dfrac{e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\ & \int_{0}^{1}1-\dfrac{e^{x} }{1+e^{x}}dx = \\\\ & \int_{0}^{1}1-\dfrac{(1+e^{x})' }{1+e^{x}}dx = \\\\ & \int_{0}^{1}1-\dfrac{(1+e^{x})' }{1+e^{x}}dx = \\\\ & \int_{0}^{1} (x)'-\big[\ln(1+e^{x})\big]'dx = \\\\ & \int_{0}^{1} \big[x-\ln(1+e^{x})\big]'dx = \\\\ & \Big[x-\ln(1+e^{x})\Big]_{0}^{1} \,\,(2.) \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-732b07b43396128bd9d45f5aedd815e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Οπότε το αρχικό ολοκλήρωμα λόγω της (1.) και της (2.) γίνεται:
![\begin{align*} Ι = &\int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx= \\\\ &\Big[-e^{-x} \cdot \ln (1+e^{x})\Big]_{0}^{1} + \Big[x-\ln(1+e^{x})\Big]_{0}^{1} =\\\\ &\Big[- e^{-1}\cdot \ln (1+e) + \ln 2 \Big] + \Big[1-\ln(1+e) +\ln 2\Big] =\\\\ &- e^{-1}\cdot \ln (1+e) + \ln 2 + 1-\ln(1+e) +\ln 2 =\\\\ &- \ln (1+e) \cdot(1+e^{-1}\cdot)+ 2\ln 2 + 1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b87101ca06d01a70cd0660e7f1d2c0c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .