ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος $\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$ χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:

$x = \alpha +\beta - u.$

οπότε έχουμε:

$dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

$I = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx.\quad (1)$

Παρατηρούμε ότι

τα άκρα του ορισμένου ολοκληρώματος έχουν άθροισμα ίσο με το μηδέν $-1+1=0$
η εκθετική συνάρτηση έχει την ιδιότητα
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}$
η συνάρτηση $x^{2},$ είναι άρτια δηλαδή
$x^{2}=(-x)^{2}.$

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ορισμένου ολοκληρώματος εφαρμόζουμε

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θέτουμε

$x =1+(-1)-u\Rightarrow x =-u,$

Οπότε:

$(x)'dx =(-u)'du,\Rightarrow dx = -du.$

επίσης:
για $x=1$ $x =- u\Rightarrow 1 =- u \Rightarrow u= -1.$
και
για $x=-1$ $x =- u\Rightarrow 1 =- u \Rightarrow u= 1.$

Οπότε:

$\begin{align*} I =& \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx=\\\\\ & -\int_{1}^{-1}\dfrac{(-u)^{2}}{e^{-u}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{e^{-u}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{\frac{1}{e^{u}}+1}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}}{\dfrac{1+e^{u}}{e^{u}}}\, du=\\\\\ & \int_{-1}^{1}\dfrac{u^{2}\cdot e^{u}}{1+e^{u}}\, du. \end{align*}$

Ή αλλιως το ολοκλήρωμα $I$ μπορεί ισοδύναμα να γραφεί και ως

$I =\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx. \quad (2)$

Στη συνέχεια προσθέτουμε κατα μέλη τι σχέσεις $(1)$ και $(2)$ και έχουμε:

$\begin{equation*} \begin{rcases} (1):\, &I = \dint_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx \\\\ (2):\, &I = \dint_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx \end{rcases} \xRightarrow[]{(+)}$ \end{equation*}$

$\begin{align*} I+I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx + \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{1+e^{x}}\, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1} + \dfrac{x^{2}\cdot e^{x}}{e^{x}+1}\, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}+x^{2}\cdot e^{x}}{e^{x}+1} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}(1+ e^{x})}{e^{x}+1} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}\cancel{(1+ e^{x})}}{\cancel{e^{x}+1}} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{-1}^{1}x^{2} \, dx \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\Bigg[\dfrac{x^{3}}{3} \Bigg]_{-1}^{1} \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\dfrac{1^{3}}{3} -\Bigg(\dfrac{(-1)^{3}}{3}\Bigg) \Leftrightarrow \\\\ 2I &=\dfrac{1}{3} -\Bigg(-\dfrac{1}{3}\Bigg) \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}$

$2I =\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 2I=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow I = \dfrac{1}{3}.$

Απο τη σχέση $(1)$ το ζητούμενο ορισμένο ολοκλήρωμα γίνεται:

$(1):\,I = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}\, dx = \dfrac{1}{3}.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά