Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

    \[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx.\quad (1)\]

Παρατηρούμε ότι

  • τα άκρα του ορισμένου ολοκληρώματος έχουν άθροισμα ίσο με: 0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}
  • για τις τριγωνομετρικές \hm x και \syn x συναρτήσεις ξέρουμε ότι ισχύει:

        \[\hm \Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)=\syn x \quad \text{και}\quad \syn\Big(\frac{\pi}{2}-x\Big)=\hm x.\]

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ορισμένου ολοκληρώματος εφαρμόζουμε

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Θέτουμε

    \[x =0+\dfrac{\pi}{2}-u\Rightarrow x =\dfrac{\pi}{2}-u,\]

Οπότε:

    \[(x)'dx =(\dfrac{\pi}{2}-u)'du \Rightarrow dx = -du.\]

επίσης:
για x=0 με x =\dfrac{\pi}{2}-u\Rightarrow 0 =\dfrac{\pi}{2}-u \Rightarrow u= \dfrac{\pi}{2}.
και
για x=\dfrac{\pi}{2} με x =\dfrac{\pi}{2}-u\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} =\dfrac{\pi}{2}-u\Rightarrow u= 0.

Οπότε:

    \begin{align*} I =& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx=\\\\\ &\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}-\dfrac{\hm^{6}\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)}{\hm^{6}\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)+\syn^{6}\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)}\, du=\\\\\ -&\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\Bigg(\hm\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)\Bigg)^{6}}{\Bigg(\hm\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)\Bigg)^{6}+\Bigg(\syn\Big(\frac{\pi}{2}-u\Big)\Bigg)^{6}}\, du=\\\\\ &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\Bigg(\syn\Big(u\Big)\Bigg)^{6}}{\Bigg(\syn\Big(u\Big)\Bigg)^{6}+\Bigg(\hm\Big(u\Big)\Bigg)^{6}}\, du=\\\\\ &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\syn^{6} u}{\syn^{6} u+\hm^{6} u}\, du.\\\\\ \end{align*}

Ή αλλιως το ολοκλήρωμα I απο τη σχέση (1) γράφεται:

    \[I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\syn^{6} x}{\syn^{6} x+\hm^{6} x}\, dx. \quad (2)\]

Στη συνέχεια προσθέτουμε κατα μέλη τι σχέσεις (1) και (2) και έχουμε:

    \begin{equation*} \begin{rcases} (1):\, &I = \dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx \\\\ (2):\, &I =\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\syn^{6} x}{\syn^{6} x+\hm^{6} x}\, dx \end{rcases} \xRightarrow[]{(+)}$ \end{equation*}

    \begin{align*} I+I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx+ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\syn^{6} x}{\syn^{6} x+\hm^{6} x}\, dx\Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}+ \dfrac{\syn^{6} x}{\syn^{6} x+\hm^{6} x}\, dx\Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x+\syn^{6} x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx\Leftrightarrow \\\\ 2I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\, dx\Leftrightarrow \\\\ 2I&= \Big[x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Leftrightarrow 2I =\dfrac{\pi}{2}-0\Leftrightarrow 2I =\dfrac{\pi}{2}. \end{align*}

    \[2I =\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow I=\dfrac{\frac{\pi}{2}}{2}\Leftrightarrow I = \dfrac{\pi}{4}.\]

Ή αλλιως το ολοκλήρωμα I απο τη σχέση (1) γράφεται:

    \[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\hm^{6}x}{\hm^{6}x+\syn^{6}x}\, dx =\dfrac{\pi}{4}.\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *