ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ
28
Δίνεται η συνάρτηση $f(x) =\dfrac{\alpha \cdot x^{2}+\alpha\cdot x +2}{x-1}, \,\, x>1.$

-(α)- Να βρεθεί το $\alpha \in \rr$ ώστε το $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ να είναι πραγματικός αριθμός.

-(β)- Για $\alpha =0$ και $h(x) = \ln\Big(f(x)\Big)$ να βρεθούν τα παρακάτω όρια:

-(β.i)- $\displaystyle\lim_{x\to 1}h(x)$

-(β.ii)- $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}h(x)$

-(γ)- Αν $\alpha =0,$ να βρείτε το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big|f^{2}(x) -f(x)-1\big|-f(x)-1}{f^{2}(x)(x+\hm x)}.$

-(δ)- Αν $\alpha =0,$ και για την συνάρτηση $g$ ισχύει:

$\Big| g(x)-f^{2}(x)-1\Big| <2f(x), \quad \text{για κάθε} \,\, x >1.$

να δείξετε ότι ισχύει: $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=1.$

ΛΥΣΗ

Βιβλιογραφία:
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος