ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Κριτήριο για ομόρροπα ή αντίρροπα διανύσματα

Ισχύουν οι εξής ισοδυναμίες:

$\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert$

$\vec{α} \uparrow \downarrow \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = -\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Αφού απο υπόθεση ισχύει:

$\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11}$

Τότε θεωρούμε ότι υπάρχει θετικός αριθμός $\lambda >0$ τέτοιος ώστε:

$\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11} = \lambda > 0$

οπότε ισχύουν:

$\frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2} = \lambda, \quad \frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} = \lambda,\quad \frac{\lvert \vec{\gamma} \rvert}{11} = \lambda$

δηλαδή:

$\lvert \vec{α} \rvert = 2\lambda, \quad \lvert \vec{\beta} \rvert = 3\lambda \quad \text{ και} \quad \lvert \vec{\gamma} \rvert = 11\lambda$

Έχουμε:

$\vec{α} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{α} + 3\vec{\beta} = -\vec{\gamma}$

άρα:

$\begin{align*} &(\vec{\alpha}+3 \vec{\beta})^{2} =(-\vec{\gamma})^{2} \Leftrightarrow \\\\ &\vec{a}^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9 \vec{\beta}^{2}=\vec{\gamma}^{2} \xLeftrightarrow[\vec{\gamma}^{2}=|\vec{\gamma}|^{2}]{\vec{\alpha}^{2} = |\vec{\alpha}|^{2},\,\, \vec{\beta}^{2}= |\vec{\beta}|^{2}}\\\\ &\lvert \vec{\alpha}\rvert^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9\lvert \vec{\beta}\rvert^{2}=\lvert \vec{\gamma}\rvert^{2} \Leftrightarrow \\\\ & 4 \lambda^{2}+6 \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}+9 \cdot 9 \lambda^{2}=121 \lambda^{2} \Leftrightarrow \\\\ &6 \vec{a} \cdot \vec{\beta} =36 \lambda^{2} \Leftrightarrow \\\\ &\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=6 \lambda^{2} \quad (1) \end{align*}$

Επίσης ισχύει ότι:

$\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert = 2\lambda \cdot 3\lambda \Leftrightarrow$

$\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert =6\lambda^{2} \quad (2)$

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \Leftrightarrow$

$\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta}$

β) Μπορούμε να εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο και να αποδείξουμε ότι:

$\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = -\lvert \vec{\beta} \rvert \lvert \vec{\gamma} \rvert$

Εναλλακτικά μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:
Ισχύει ότι

$\vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} \quad \text{ και} \quad \frac{\lvert \vec{α} \rvert}{2}=\frac{\lvert \vec{\beta} \rvert}{3} \Leftrightarrow \lvert \vec{α} \rvert = \frac{2}{3} \lvert \vec{\beta} \rvert.$

Επομένως ισχύει ότι

$\vec{α} = \frac{2}{3} \vec{\beta}.$

Άρα έχουμε:

$\vec{α} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow$

$\frac{2}{3} \vec{\beta} + 3\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow$

$\Big(\frac{2}{3} + 3\Big)\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow$

$\dfrac{11}{3}\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} \Leftrightarrow$

$\vec{\gamma} = -\frac{11}{3}\vec{\beta}$

Επειδή $-\dfrac{11}{3}<0$ είναι:

$\vec{\beta} \uparrow \downarrow \vec{\gamma}.$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά