- Δίνονται τα διανύσματα
στο επόμενο σχήμα.
Να κατασκευάσετε τα διανύσματα: - Να προσδιορίσετε γραφικά το σημείο Μ στο επίεπδο του τριγώνου ΑΒΓ, ώστε να ισχύει:
i)
ii)
- Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο σιπλανό σχήμα με
και
Αν το Ε είναι μέσον του ΑΒ και ισχύει
να εκφράσετε συναρτήσει των διανυσμάτων
τα διανύσματα
- Να βρείτε το διάνυσμα
σε κάθε μια από τις περιπτώσεις:i)
ii)
- Αν
να γράψετε το
ως γραμμικό συνδυασμό των
- Να βρείτε τα διανύσματα
στις παρακάτω περιπτώσεις:i)
ii)
- Έστω τα διανύσματα
και
Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα
είναι μοναδιαίο και αντίρροπο του
- Αν για τα διανύσματα
ισχύει:
και
να αποδείξετε ότι
- Αν ισχύει
να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν ταυτίζονται.
- Αν
οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ως προς το σημείο Ο, να εκφράσετε τα διανύσματα
με τη βοήθεια των
- Αν
τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β ως προς το σημείο Ο, να βρεθεί το διάνυσμα θέσης
του σημείου Γ ως προς το Ο, ώστε να ισχύει:i)
ii)
- Αν στο επόμενο σχήμα:
να εκφράσετε το διάνυσμα
συναρτήσει των
και
- Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ, ώστε
Αν
και
να εκφράσετε τα διανύσματα
και
συναρτήσει των
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ, ώστε τα Δ, Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει:
Αν
και
να εκφράσετε το διάνυσμα
συναρτήσει των
- Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα
και
είναι συγγραμμικά.
- Αν οι διανυσματικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα,
να δείξετε ότι:
- Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο του σχήματος είναι τραπέζιο.
- Αν τα σημεία Α, Β δε συμπίπτουν, να βρείτε στις παρακάτω περιπτώσεις τις σχετικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ.i)
ii)
iii)
- Δίνονται τα διαφορετικά σημεία Α, Β και
τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης αυτών. Αν ισχύει
να βρείτε:i) το διάνυσμα θέσης του σημείου Γ.ii) τη σχετική θέση των σημείων Α, Β, Γ.
- Αν το διάνυσμα
είναι μοναδιαίο και
να αποδείξετε ότι το διάνυσμα
είναι αντίρροπο του
και να βρείτε το μέτρο του διανύσματος
- Στο επόμενο σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά.
- Αν
και
να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Αν οι διανυσματικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο είναι αντίστοιχα
να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Αν τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο είναι
αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Δίνεται το τραπέζιο στο επόμενο σχήμα.
Ανκαι
i) να εκφράσετε συναρτήσει των
και
τα διανύσματα
ii) να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.
- Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και
τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ ως προς το σημείο Ο αντίστοιχα.i) Να βρείτε το διάνυσμα θέσης των σημείων:a) Δ,
b) Ε, το οποίο είναι το μέσο του ΑΔ,
c) Ζ, για το οποίο ισχύει:ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα θέσης
των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο αντίστοιχα.i) Να βρείτε συναρτήσει των
το διάνυσμα θέσης:a)του σημείου Ε, για το οποίο ισχύει
b) του σημείου Δ, που είναι μέσο της διαμέσου ΑΜ.ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το μέσο Ζ της διαμέσου του ΑΜ. Αν
και για τα σημεία Δ, Ε ισχύει
i) να εκφράσετε συναρτήσει των
τα διανύσματα
και
ii) να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ζ, Ε είναι συνευθειακά.
- Αν για τα σημεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει ότι
να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Αν για τα σημεία Μ, Α, Β, Γ ισχύει
i) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
ii) να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ. - Αν ισχύει
να αποδείξετε ότι
- Αν ισχύει
να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Αν τα σημεία Α, Γ δεν συμπίπτουν και ισχύει
να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
- Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι
- Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα. Αν το σημείο Ο είναι μέσον του ΚΛ, να αποδείξετε ότι
- Έστω τα σημεία Α, Β. Να βρείτε σημείο Ο, ώστε να ισχύει
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει
- Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε να ισχύει
- Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει
- Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα
είναι σταθερό.
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ισχύει
να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα
είναι σταθερό.
- Αν
και τα διανύσματα
είναι μοναδιαία, να αποδείξετε ότι
- Αν τα σημεία Γ, Δ είναι διαφορετικά και ισχύουν
να βρείτε το
- Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι διαφορετικά ανά δύο και ισχύει
να βρείτε την τιμή του
ώστε να ισχύει
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν
i) να αποδείξετε ότι
ii) να βρείτε τα
ώστε να ισχύει
- Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με
Να βρείτε τα
ώστε να ισχύει
- Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε
και
Έστω Μ το σημείο τομής των διαγωνίων του.i) Να γράψετε τα διανύσματα
ως γραμμικό συνδυασμό των
ii) Αν
και
να βρείτε τα
- Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:
- Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει
- Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει
- Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ μέσο του ΑΒ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει
Βιβλιογραφία:
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .







