Άρθρα ανά μήνα: Ιανουάριος 2021

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Σχολιάστε

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Σχολιάστε

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Έστω (\epsilon): A\mathrm{x}+ B \mathrm{y} + \Gamma = 0 μια ευθεία και Μ ένα σημείο εκτός αυτής.

\bullet Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο (π.χ. \Delta) της ευθείας (\epsilon) από το σημείο Μ ορίζεται ως η απόσταση της της ευθείας (\epsilon) από το σημείο M και είναι:

    \[d_{min} = d(M,\epsilon)\]

Από όλα τα σημεία της (ε) το σημείο Δ απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σταθερό σημείο Μ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σχολιάστε
  1. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις να παριστάνει ευθεία γραμμή.

    1. (\lambda^2 - 4)x + (\lambda^2 - 5\lambda + 6)y + \lambda - 1 = 0,
    2. x + y - 3 + \lambda(x + y + 1) = 0.

    Να βρείτε τις τιμές των \kappa, \lambda, ώστε η εξίσωση (\kappa - 2)x + (\lambda + \kappa - 3)y + \lambda - 1 = 0 να παριστάνει ευθεία γραμμή.

  2. Να δείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει ευθεία γραμμή.

    1. (\lambda - 1)x + (\lambda - 2)y + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. x\eta\mu\theta + y\sigma\upsilon\nu\theta - 3 = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.
  3. Να βρειτε τις τιμές του \lambda, ώστε η ευθεία (\lambda - 1)x + (\lambda^2 - 3)y + \lambda^3 + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
    2. Να είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
    3. Να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
  4. Να αποδείξετε ότι κάθε μια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από σταθερό σημείο.

    1. x - y +\lambda(2x + y - 3) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. (\lambda + 1)x + (\lambda - 1)y + 4\lambda -2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    3. (\lambda^2 + \lambda + 1)x + (\lambda^2 - 2\lambda)y -3\lambda -1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    4. 2x\sigma\upsilon\nu^2\theta + 2y\eta\mu^2\theta - 2\eta\mu^2\theta = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.
  5. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (\lambda^2 + 1)x - \lambda y + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}
  6. Δίνεται η εξίσωση 2\lambda x + (\lambda^2 - 1)y - 2\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0, όπου \lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση.
  7. Δϊνεται η εξίσωση (\lambda^2 - 1)x + (\lambda^2 - \lambda)y + \lambda - 3 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει:

    1. ευθεία,
    2. ευθεία που να είναι παράλληλη στον άξονα:

      1. x'x,
      2. y'y,
    3. ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
  8. Δίνεται η εξίσωση (\kappa - 1)x + (\lambda^2 - \kappa \lambda + 1)y + \kappa -2 = 0, ~\kappa, \lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων \kappa, \lambda η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.
    2. Ποια από τις παραπάνω ευθείες διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = \dfrac{3\pi}{4}?
  9. Δίνεται η εξίσωση x - y + 1 + \lambda(x + 2y - 1) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία.
    2. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο.
    3. Να βρείτε την ευθεία που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση και

      1. διέρχεται από το σημείο Α(-1, 2),
      2. διέρχεται από την αρχή των αξόνων,
      3. είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
      4. είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
      5. σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = 135^{\circ},
      6. είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{\nu} = (1, 3).
  10. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x + \lambda y = \lambda, ~\epsilon_2: \lambda x + (\lambda + 1)y = 2\lambda.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής των \epsilon_1, \epsilon_2.
  11. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: 3x + (\lambda - 2)y - \lambda = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 2)x - \lambda y - 2 = 0. Να βρείτε το \lambda ώστε:

    1. \epsilon_1 \parallel \epsilon_2,
    2. \epsilon_1 \perp \epsilon_2.
  12. Δίνονται οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x - (\lambda + 5)y - 1 = 0 και x + (\lambda + 1)y + \lambda + 3 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για οποιαδήποτε τιμή του \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε οι ευθείες \epsilon_1 και \epsilon_2 να τέμνονται κάθετα.
  13. Δίνονται τα σημεία Α(1, 5) και Β(2, 1). Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας \epsilon: x - y = 0, τέτοιο, ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ.
  14. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: x - 7y + 2 = 0 και \epsilon_2: 3x + 4y - 1 = 0.
  15. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (2 - \sqrt{3})x - y + 1 = 0 και \epsilon_2: x + y = 0.
  16. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (\lambda - 1)x + (\lambda + 1)y - 1 = 0 και \epsilon_2: \lambda x + y + 2 = 0.
  17. Δίνεται η εξίσωση y^2 - 3x^2 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2.
    2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x καθεμία από τις \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία \eta: x + y = 0 με την \epsilon_1 και με την \epsilon_2.
  18. Δίνεται η ευθεία \epsilon: x + y\sqrt{3} + 1 = 0.

    1. Να βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής ευθείας \epsilon' της \epsilon ως προς τον άξονα x'x.</li
    2. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι \epsilon και \epsilon'.</li
  19. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, όταν:

    1. M(\lambda – 1, 2\lambda – 3), \lambda \in \mathbb{R},
    2. Μ(\lambda – 1, 2\lambda), \lambda \geq 0,
    3. Μ(2\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R},
    4. Μ(\lambda – 1, -2), 1 < \lambda \leq 5,
    5. Μ(3, \lambda^2 + 1), \lambda \in \mathbb{R},
    6. Μ(\sigma\upsilon\nu\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R}.
  20. Αν Α(\lambda - 1, 2), Β(2\lambda – 3, \lambda + 1) και Γ(3\lambda, 2\lambda), \lambda \in \mathbb{R}, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, ώστε \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{B\Gamma}.
  21. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(1 + \eta\mu^2\theta, 2 – 3\sigma\upsilon\nu^2\theta), \theta \in \mathbb{R} κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία.
  22. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 1 = 0. Να βρείτε που κινείται το συμμετρικό Μ του σημείου Ν ως προς το σημείο Κ(-1, 3).
  23. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 2 = 0. Αν Α, Β οι προβολές του Ν πάνω στους άξονες x'x, y'y αντιστοίχως, να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  24. Έστω ότι μια ευθεία (\eta) με συντελεστή διεύθυνσης \lambda = 1, κινείται και τέμνει τις ευθείες \epsilon_1: x + y - 2 = 0, ~\epsilon_2: 2x - y - 1 - 0 στα σημεία Α, Β αντιστοίχως. Να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  25. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: \lambda x + (\lambda - 1)y - 2 = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 1)x + \lambda y - 3 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για αοποιαδήποτε τιμή του \lambda.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευεθιών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σημείο Μ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία.
  26. Δίνεται η εξίσωση x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2\lambda y + 3\lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 που είναι κάθετες.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.
  27. Δίνονται οι οικογένειες των ευθειών που ορίζονται απο τις παρακάτω εξισώσεις. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, από τα οποία:

    1. διέρχεται μία μόνο ευθεία της οικογένειας των ευθειών \lambda x - y + \lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. δε διέρχεται καμία ευθεία της οικογένειας των ευθειών (\lambda + 2)x - (2\lambda + 1)y + 3 = 0, \lambda \in \mathbb{R}.
  28. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις:

    1. x^2 - y^2 + 6y - 9 = 0
    2. 4x^2 - y^2 - 4x - 2y = 0
    3. x^2 - 4xy + 3y^2 = 0
    4. 2x^2 - 2xy - y^2 = 0
  29. Αν η ευθεία \eta: x - 2y + 1 = 0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών \epsilon_1: x - 2y + \alpha = 0 και \epsilon_2: 2x - 4y + \alpha + 2 = 0, να βρείτε το \alpha.
  30. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλο των ευθειών \epsilon_1: x - y - 2 = 0 και \epsilon_2: x - y - 4 = 0.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σχολιάστε

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση

    \[\boldsymbol{A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma} \text{ με } \, \boldsymbol{A \neq 0} \,\text{ή} \,\boldsymbol{B \neq 0}\]

Θεώρημα
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής:

    \[A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} A \neq 0\,\, \text{ ή }\,\, B \neq 0 \qquad (1)\]

και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Σχολιάστε

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση παριστάνει ευθείες που διέρχονατι από το ίδιο σημείο (ανεξάρτητο της παραμέτρου), εργαζόμαστε με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:
1ος τρόπος

\bullet Θεωρούμε Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) το κοινό σημείο.

\bullet Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση.

\bullet Μετατρέπουμε την εξίσωση που προκύπτει σε πολυωνυμική με άγνωστο την παράμετρο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

 

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΙΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

ΤΙΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΙΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Σχολιάστε

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →