ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

  1. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις να παριστάνει ευθεία γραμμή.
    1. (\lambda^2 - 4)x + (\lambda^2 - 5\lambda + 6)y + \lambda - 1 = 0,
    2. x + y - 3 + \lambda(x + y + 1) = 0.


  2. να βρείτε τις τιμές των \kappa, \lambda, ώστε η εξίσωση (\kappa - 2)x + (\lambda + \kappa - 3)y + \lambda - 1 = 0 να παριστάνει ευθεία γραμμή.
  3. Να δείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει ευθεία γραμμή.
    1. (\lambda - 1)x + (\lambda - 2)y + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. x\eta\mu\theta + y\sigma\upsilon\nu\theta - 3 = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.

  4. Να βρειτε τις τιμές του \lambda, ώστε η ευθεία (\lambda - 1)x + (\lambda^2 - 3)y + \lambda^3 + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
    2. Να είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
    3. Να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

  5. Να αποδείξετε ότι κάθε μια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από σταθερό σημείο.
    1. x - y +\lambda(2x + y - 3) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. (\lambda + 1)x + (\lambda - 1)y + 4\lambda -2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    3. (\lambda^2 + \lambda + 1)x + (\lambda^2 - 2\lambda)y -3\lambda -1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    4. 2x\sigma\upsilon\nu^2\theta + 2y\eta\mu^2\theta - 2\eta\mu^2\theta = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.

  6. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (\lambda^2 + 1)x - \lambda y + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}
  7. Δίνεται η εξίσωση 2\lambda x + (\lambda^2 - 1)y - 2\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0, όπου \lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση.

  8. Δϊνεται η εξίσωση (\lambda^2 - 1)x + (\lambda^2 - \lambda)y + \lambda - 3 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει:
    1. ευθεία,
    2. ευθεία που να είναι παράλληλη στον άξονα:
      1. x'x,
      2. y'y,
    3. ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

  9. Δίνεται η εξίσωση (\kappa - 1)x + (\lambda^2 - \kappa \lambda + 1)y + \kappa -2 = 0, ~\kappa, \lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να δείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων \kappa, \lambda η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.
    2. Ποια από τις παραπάνω ευθείες διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = \dfrac{3\pi}{4}?

  10. Δίνεται η εξίσωση x - y + 1 + \lambda(x + 2y - 1) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία.
    2. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο.
    3. Να βρείτε την ευθεία που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση και
      1. διέρχεται από το σημείο Α(-1, 2),
      2. διέρχεται από την αρχή των αξόνων,
      3. είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
      4. είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
      5. σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = 135^{\circ},
      6. είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{\nu} = (1, 3).

  11. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x + \lambda y = \lambda, ~\epsilon_2: \lambda x + (\lambda + 1)y = 2\lambda.
    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής των \epsilon_1, \epsilon_2.

  12. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: 3x + (\lambda - 2)y - \lambda = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 2)x - \lambda y - 2 = 0. Να βρείτε το \lambda ώστε:
    1. \epsilon_1 \parallel \epsilon_2,
    2. \epsilon_1 \perp \epsilon_2.

  13. Δίνονται οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x - (\lambda + 5)y - 1 = 0 και x + (\lambda + 1)y + \lambda + 3 = 0.
    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για οποιαδήποτε τιμή του \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε οι ευθείες \epsilon_1 και \epsilon_2 να τέμνονται κάθετα.

  14. Δίνονται τα σημεία Α(1, 5) και Β(2, 1). Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας \epsilon: x - y = 0, τέτοιο, ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ.
  15. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: x - 7y + 2 = 0 και \epsilon_2: 3x + 4y - 1 = 0.
  16. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (2 - \sqrt{3})x - y + 1 = 0 και \epsilon_2: x + y = 0.
  17. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (\lambda - 1)x + (\lambda + 1)y - 1 = 0 και \epsilon_2: \lambda x + y + 2 = 0.
  18. Δίνεται η εξίσωση y^2 - 3x^2 = 0.
    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2.
    2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x καθεμία από τις \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία \eta: x + y = 0 με την \epsilon_1 και με την \epsilon_2.

  19. Δίνεται η ευθεία \epsilon: x + y\sqrt{3} + 1 = 0.
    1. Να βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής ευθείας \epsilon' της \epsilon ως προς τον άξονα x'x.
    2. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι \epsilon και \epsilon'.

  20. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, όταν:
    1. M(\lambda – 1, 2\lambda – 3), \lambda \in \mathbb{R},
    2. Μ(\lambda – 1, 2\lambda), \lambda \geq 0,
    3. Μ(2\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R},
    4. Μ(\lambda – 1, -2), 1 < \lambda \leq 5,
    5. Μ(3, \lambda^2 + 1), \lambda \in \mathbb{R},
    6. Μ(\sigma\upsilon\nu\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R}.

  21. Αν Α(\lambda - 1, 2), Β(2\lambda – 3, \lambda + 1) και Γ(3\lambda, 2\lambda), \lambda \in \mathbb{R}, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, ώστε \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{B\Gamma}.
  22. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(1 + \eta\mu^2\theta, 2 – 3\sigma\upsilon\nu^2\theta), \theta \in \mathbb{R} κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία.
  23. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 1 = 0. Να βρείτε που κινείται το συμμετρικό Μ του σημείου Ν ως προς το σημείο Κ(-1, 3).
  24. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 2 = 0. Αν Α, Β οι προβολές του Ν πάνω στους άξονες x'x, y'y αντιστοίχως, να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  25. Έστω ότι μια ευθεία (\eta) με συντελεστή διεύθυνσης \lambda = 1, κινείται και τέμνει τις ευθείες \epsilon_1: x + y - 2 = 0, ~\epsilon_2: 2x - y - 1 - 0 στα σημεία Α, Β αντιστοίχως. Να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  26. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: \lambda x + (\lambda - 1)y - 2 = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 1)x + \lambda y - 3 = 0.
    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για αοποιαδήποτε τιμή του \lambda.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευεθιών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σημείο Μ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία.

  27. Δίνεται η εξίσωση x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2\lambda y + 3\lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.
    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 που είναι κάθετες.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

  28. Δίνονται οι οικογένειες των ευθειών που ορίζονται απο τις παρακάτω εξισώσεις. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, από τα οποία:
    1. διέρχεται μία μόνο ευθεία της οικογένειας των ευθειών \lambda x - y + \lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. δε διέρχεται καμία ευθεία της οικογένειας των ευθειών (\lambda + 2)x - (2\lambda + 1)y + 3 = 0, \lambda \in \mathbb{R}.

  29. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις:
    1. x^2 - y^2 + 6y - 9 = 0
    2. 4x^2 - y^2 - 4x - 2y = 0
    3. x^2 - 4xy + 3y^2 = 0
    4. 2x^2 - 2xy - y^2 = 0

  30. Αν η ευθεία \eta: x - 2y + 1 = 0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών \epsilon_1: x - 2y + \alpha = 0 και \epsilon_2: 2x - 4y + \alpha + 2 = 0, να βρείτε το \alpha.
  31. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλο των ευθειών \epsilon_1: x - y - 2 = 0 και \epsilon_2: x - y - 4 = 0.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *