ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Έστω (\epsilon): A\mathrm{x}+ B \mathrm{y} + \Gamma = 0 μια ευθεία και Μ ένα σημείο εκτός αυτής.

\bullet Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο (π.χ. \Delta) της ευθείας (\epsilon) από το σημείο Μ ορίζεται ως η απόσταση της της ευθείας (\epsilon) από το σημείο M και είναι:

    \[d_{min} = d(M,\epsilon)\]

Από όλα τα σημεία της (ε) το σημείο Δ απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σταθερό σημείο Μ

\bullet Για να βρούμε το σημείο \Delta της ευθείας (\epsilon) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ, εργαζόμαστε ως εξής:

\longrightarrow Βρίσκουμε την ευθεία (\zeta) που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στην (\epsilon).
\longrightarrow Το ζητούμενο σημείο \Delta είναι το σημείο τομής των ευθειών (\epsilon) και (\zeta), οπότε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους και βρίσκουμε τις συντεταγμένες του \Delta.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Η ελάχιστη απόσταση d που απέχει ένα σημείο της ευθείας

    \[(\epsilon):3x-4y-5=0, \, \text{με} \quad A=3, \, B=-4, \, \Gamma =-5\]

από την αρχή των αξόνων

    \[Ο(0,0)\, \text{με} \quad x_{0}=0, \, y_{0}=0\]

είναι:

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

    \[d=d(Ο,\epsilon) =\]

    \[\dfrac{\big| A \cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+\Gamma \big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\]

    \[\frac{\lvert3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 5 \rvert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} =\]

    \[\frac{\lvert-5 \rvert}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1.\]

Η προβολή του σημείου πάνω στην ευθεία μας δίνει την μικρότερη απόσταση.

β) Βρίσκουμε την ευθεία \zeta που διέρχεται από το σημείο Μ(-4,2) και είναι κάθετη στην

    \[(\epsilon): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 5 = 0,\]

με Α=3,\, Β=-4, \, \Gamma=-5,\,\, \text{και}\, \lambda_{\epsilon}=- \dfrac{A}{B}= \dfrac{3}{4}. Έχουμε:

    \[\zeta \perp \epsilon \Leftrightarrow \lambda_{\zeta}\cdot \lambda_{\epsilon} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{\zeta} \cdot \frac{3}{4} = - 1 \Leftrightarrow \lambda_{\zeta} = -\frac{4}{3}\]

Επομένως η ευθεία (\zeta) έχει εξίσωση:

    \[Μ(-4,2)\in (\zeta):y-y_{0}=\lambda_{\zeta}\cdot (x-x_{0}) \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta):\mathrm{y} - 2 = -\frac{4}{3} (\mathrm{x} + 4) \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta): 3\mathrm{y} - 6 = -4 (\mathrm{x} + 4) \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta): 4\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 10 = 0.\]

Οπότε το σημείο της ευθείας (\epsilon ), το οποίο απέχει απο το σημείο M, τη μικρότερη απόσταση, είναι το σημείο τομης, των ευθειών (\epsilon) και (\zeta) και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των δύο ευθειών.

Λύνουμε το σύστημα:

    \[\left\{\begin{array}{l}{3 \mathrm{x} - 4 \mathrm{y} - 5 = 0} \\ {4 \mathrm{x} + 3 \mathrm{y} + 10 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x} = - 1} \\ {\mathrm{y} = - 2}\end{array}\right.\]

Επομένως το σημείο της ευθείας (\epsilon) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ είναι το \Delta(-1,-2).

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *