ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Έστω $(\epsilon): A\mathrm{x}+ B \mathrm{y} + \Gamma = 0$ μια ευθεία και $Μ$ ένα σημείο εκτός αυτής.

$\bullet$ Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο (π.χ. $\Delta$ ) της ευθείας $(\epsilon)$ από το σημείο $Μ$ ορίζεται ως η απόσταση της της ευθείας $(\epsilon)$ από το σημείο $M$ και είναι:

$d_{min} = d(M,\epsilon)$

Από όλα τα σημεία της (ε) το σημείο Δ απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σταθερό σημείο Μ

$\bullet$ Για να βρούμε το σημείο $\Delta$ της ευθείας $(\epsilon)$ που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο $Μ,$ εργαζόμαστε ως εξής:

$\longrightarrow$ Βρίσκουμε την ευθεία $(\zeta)$ που διέρχεται από το $Μ$ και είναι κάθετη στην $(\epsilon).$
$\longrightarrow$ Το ζητούμενο σημείο $\Delta$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $(\epsilon)$ και $(\zeta),$ οπότε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους και βρίσκουμε τις συντεταγμένες του $\Delta.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Η ελάχιστη απόσταση $d$ που απέχει ένα σημείο της ευθείας

$(\epsilon):3x-4y-5=0, \, \text{με} \quad A=3, \, B=-4, \, \Gamma =-5$

από την αρχή των αξόνων

$Ο(0,0)\, \text{με} \quad x_{0}=0, \, y_{0}=0$

είναι:

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

$d=d(Ο,\epsilon) =$

$\dfrac{\big| A \cdot x_{0}+B\cdot y_{0}+\Gamma \big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=$

$\frac{\lvert3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 5 \rvert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} =$

$\frac{\lvert-5 \rvert}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1.$

Η προβολή του σημείου πάνω στην ευθεία μας δίνει την μικρότερη απόσταση.

β) Βρίσκουμε την ευθεία $\zeta$ που διέρχεται από το σημείο $Μ(-4,2)$ και είναι κάθετη στην

$(\epsilon): 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} - 5 = 0,$

με $Α=3,\, Β=-4, \, \Gamma=-5,\,\, \text{και}\, \lambda_{\epsilon}=- \dfrac{A}{B}= \dfrac{3}{4}.$ Έχουμε:

$\zeta \perp \epsilon \Leftrightarrow \lambda_{\zeta}\cdot \lambda_{\epsilon} = -1 \Leftrightarrow$

$\lambda_{\zeta} \cdot \frac{3}{4} = - 1 \Leftrightarrow \lambda_{\zeta} = -\frac{4}{3}$

Επομένως η ευθεία $(\zeta)$ έχει εξίσωση:

$Μ(-4,2)\in (\zeta):y-y_{0}=\lambda_{\zeta}\cdot (x-x_{0}) \Leftrightarrow$

$(\zeta):\mathrm{y} - 2 = -\frac{4}{3} (\mathrm{x} + 4) \Leftrightarrow$

$(\zeta): 3\mathrm{y} - 6 = -4 (\mathrm{x} + 4) \Leftrightarrow$

$(\zeta): 4\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 10 = 0.$

Οπότε το σημείο της ευθείας $(\epsilon ),$ το οποίο απέχει απο το σημείο $M,$ τη μικρότερη απόσταση, είναι το σημείο τομης, των ευθειών $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των δύο ευθειών.

Λύνουμε το σύστημα:

$\left\{\begin{array}{l}{3 \mathrm{x} - 4 \mathrm{y} - 5 = 0} \\ {4 \mathrm{x} + 3 \mathrm{y} + 10 = 0}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x} = - 1} \\ {\mathrm{y} = - 2}\end{array}\right.$

Επομένως το σημείο της ευθείας $(\epsilon)$ που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο $Μ$ είναι το $\Delta(-1,-2).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά