ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1311 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Λύση
1.) Οι αριθμοί $\kappa - 2, 2\kappa$ και $7\kappa + 4,$ είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$\begin{align*} & ~(2\kappa)^2 = (\kappa - 2)(7\kappa + 4) \Leftrightarrow \\ & ~4\kappa^2 = 7\kappa^2 + 4\kappa - 14\kappa - 14\kappa - 8 \Leftrightarrow \\ & ~3\kappa^2 - 10\kappa - 8 = 0 \quad (1) \end{align*}$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$\begin{align*} \Delta = & ~\beta^2 - 4 \alpha \gamma = \\ & ~(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = \\ & ~100 + 96 = 196 > 0 \end{align*}$

Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$x_{1, 2} = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3}$

$x_{1, 2} = \dfrac{10 \pm 14}{6}$

$x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{10 + 14}{6} = 4\\[5mm] \dfrac{10 - 14}{6} = -\dfrac{2}{3} \end{array}\right.$

Η τιμή $\kappa = -\dfrac{2}{3} < 0$ απορρίπτεται. Άρα $\kappa = 4.$
2a.) Είναι:

$\begin{align*} \alpha_2 & ~= \alpha_1 \lambda^{2 - 1} = 4 \alpha_1, \\ \alpha_4 & ~= \alpha_1 \lambda^{4 - 1} = \alpha_1 4^3 = 64 \alpha_1, \\ \alpha_5 & ~= \alpha_1 \lambda^{5 - 1} = \alpha_1 4^4 = 256 \alpha_1 \end{align*}$

2b.) Ισχύει:

$\begin{align*} & ~\alpha_2 + \alpha_5 = \\ & ~4 \alpha_1 + 256 \alpha_1 = \\ & ~4(\alpha_1 + 64 \alpha_1) = \\ & ~4(\alpha_1 + \alpha_4) \end{align*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1311 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά