Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 2

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1277 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

27 Σεπτεμβρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1277 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 10x + 21$ έχει $\alpha = 1, ~\beta=-10, ~\gamma = 21$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$x_{1, 2}= \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

$x_{1, 2}= \dfrac{10 \pm 4}{2}$

$x_{1, 2}= \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{10 + 4}{2} = 7\\[5mm] \dfrac{10 - 4}{2} = 3 \end{array}\right.$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ — ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ $x^{2}-10x+21$

x^{2}-10x+21 — ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ $x^{2}-10x+21$

Επομένως ισχύει:

$x^2 - 10x + 21 < 0 \Leftrightarrow 3 < x < 7 \Leftrightarrow x \in (3, 7)$

2.)
2a) Για $3 < x < 7$ είναι $x - 3 > 0,$ οπότε:

$|x - 3| = x - 3$

και από το (1.) υποερώτημα ισχύει $x^2 - 10x + 21 <0,$ οπότε:

$|x^2 - 10x + 21| = -(x^2 - 10x + 21) = -x^2 + 10x - 21$

Τότε η παράσταση Α γράφεται:

$A = x - 3 - x^2 + 10x - 21 = -x^2 + 11x - 24$

2b.) Είναι:

$Α = 6 \Leftrightarrow -x^2 + 11x - 24 \Leftrightarrow x^2 - 11x +30 = 0$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 -120 = 1> 0$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-(-11) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{11 \pm 1}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{11 + 1}{2} = 6\\[5mm] \dfrac{11 - 1}{2} = 5 \end{array}\right.$

Οι ρίζες $x_1 = 5, ~x_2 = 6$ είναι και οι δύο δεκτές διότι ανήκουν στο διάστημα $(3, 7).$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Wordpress Social Share Plugin powered by Ultimatelysocial