Γ Λυκείου / ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, Β Λυκείου / ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4 σχόλια
Print Friendly, PDF & Email

Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται άρτια όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=f(x) για κάθε x \in A

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y.

Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται περιττή όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=-f(x) για κάθε x \in A

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Παράδειγμα
Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις
i) f(x)=\dfrac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}.

ii) f(x)=\dfrac{|x|+x^4}{\sqrt{16-x^2}}
Λύση
i)Πρέπει αρχικά να βρούμε το πεδίο ορισμού της

    \[f(x)=\frac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}\]

Η f ορίζεται όταν:

    \begin{align*} &x^2-4 \neq 0 \Leftrightarrow\\ &x^2 \neq 4 \Leftrightarrow\\ &x \neq \pm2 \end{align*}

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: A_{f}=\mathbb{R}-\{-2,2\}
Παρατηρούμε ότι για κάθε x\in A_{f} είναι και -x\in A_{f}. Επίσης για κάθε x\in A_{f} ισχύει:

    \begin{eqnarray*} f(-x) &=&\dfrac{(-x)^3-\eta\mu (-x)}{(-x)^2-4}\\\\ &=&\dfrac{-x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ &=&-\frac{x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ &=&-f(x) \end{eqnarray*}

Δηλαδή για κάθε x\in A_{f} ισχύει f(-x)=-f(x), άρα η f είναι περιττή.
ii) Πρέπει αρχικά να βρούμε το πεδίο ορισμού της

    \[f(x)=\frac{|x|+x^4}{\sqrt{16-x^2}}\]

Η f ορίζεται όταν:

    \begin{align*} &16-x^2>0 \Leftrightarrow x^2<16 \Leftrightarrow -4<x<4 \end{align*}

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:

    \[A_{f}=(-4,4)\]

Παρατηρούμε ότι για κάθε x\in A_{f} είναι και -x\in A_{f}. Επίσης για κάθε x\in A_{f} ισχύει:

    \begin{eqnarray*} f(-x) &=&\dfrac{|-x|+(-x)^4}{\sqrt{16-(-x)^2}}\\\\ &=&\dfrac{|x|+ x^4}{\sqrt{16-x^2}}\\\\ &=&f(x) \end{eqnarray*}

Δηλαδή για κάθε x\in A_{f} ισχύει f(-x)=f(x), άρα η f είναι άρτια.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

4 απαντήσεις στο “ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ”

  1. Παράθεμα: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
  2. Παράθεμα: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *