Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name
Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σχολιάστε

Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

    •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

    •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}.

    Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των C_f και C_{f^{-1}} με τον άξονα συμμετρίας τους y=x.

    Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση f^{-1}(x)=x, τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση f ( x) = x , διότι τα σημεία τομής της C_{f^{-1}} με την ευθεία y = x (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της C_ f με την ίδια ευθεία.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    2 σχόλια

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
    • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
      όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
    • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
    • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Σχολιάστε

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Παράδειγμα.1
    Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} είναι και 1-1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \Big(f \circ f\Big)(x+2)=f(3x-4), να δειχθεί ότι

        \[f(x)=3x-10.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

    • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
    • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα x_{0} της εξίσωσης f(x)=0
    • Η εξίσωση γίνεται

          \begin{align*} &f(x)=0 \Leftrightarrow\\ &f(x)=f(x_{0}) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\ &x=x_{0} \end{align*}

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    1 σχόλιο

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε η συνάρτηση f είναι και 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Αν για μία συνάρτηση f διαπιστώσουμε ότι είναι άρτια ή περιοδική ή ότι για δύο διαφορετικές τιμές του x π.χ x_{1},x_{2} είναι f(x_{1})=f(x_{2}) τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 αφου θα έχουμε x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    1 σχόλιο

    ΟΡΙΣΜΟΣ
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).\]

    ισοδύναμος ορισμός
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

    Σχολιάστε

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

    Για την απόδειξη ανισοτητων με τη μέθοδο της μονοτονίας ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • Διαχωρίζουμε τους όρους στα δύο μέλη έτσι ώστε σε κάθε μέλος να υπάρχει η ίδια παράμετρος.
  • Παρατηρούμε αν ορίζεται η ίδια συνάρτηση και στα δύο μέλη και η μόνη διαφορά τους είναι η διαφορετική παράμετρος.
  • Θεωρουμε την παραπάνω συνάρτηση ως προς f(x) και την μελετάμε ως προς τη μονοτονία.
  • Εφαρμόζουμε τον ορισμο της μονοτονίας για τις περιπτώσεις της γνησίως αύξουσας και γνησίως φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    1 σχόλιο

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

        \[f(x+y),\]

    τις αντιμετωπίζουμε με μία απο τις παρακάτω αντικαταστάσεις:

    • όπου x και y το 0.
    • όπου y το -x.
    • όπου x το y και αντιστρόφως.
    • όπου y το μηδέν οπότε έχουμε ισότητα μόνο ως προς x.

    Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

        \[f(x\cdot y),\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    2 σχόλια

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ →