αντιστροφη-συναρτηση-και-εξισωσεισ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Έστω $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη $f^{-1}.$

Επειδή οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x,$ προκύπτει ότι οι εξισώσεις $f(x)=x$ και $f^{-1}(x)=x$ είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

$f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.$

Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ με τον άξονα συμμετρίας τους $y=x.$

Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $f^{-1}(x)=x,$ τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση $f ( x) = x$ , διότι τα σημεία τομής της $C_{f^{-1}}$ με την ευθεία $y = x$ (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της $C_ f$ με την ίδια ευθεία.

Rendered by QuickLaTeX.com

Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=-x^3-x+12.$

i) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.

ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της $f^{-1}$ με την ευθεία $y=x.$

Λύση

Το πεδίο ορισμού της $f(x)=-x^3-x+12$ είναι το $A_{f}=\mathbb{R}.$ Θα εξετάσουμε αν η $f$ είναι συνάρτηση 1-1, με τη χρήση του ορισμού.
Έστω $x_{1},x_{2}\in A_{f}=\mathbb{R},$ με $x_{1}\neq x_{2},$ Έχουμε:

$\begin{align*} &x_{1} \neq x_{2}\Rightarrow \\\\ &x_{1}^{3}\neq x_{2}^{3} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}^{3}\neq-x_{2}^{3}. \quad (1.)\\ \end{align*}$

Επίσης έχουμε:

$\begin{align*} &x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}\neq -x_{2} \Rightarrow\\\\ -&x_{1}+12\neq-x_{2}+12. \quad (2.) \end{align*}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισώσεις (1.) και (2.) έχουμε:

$-x_{1}^{3}-x_{1}+12\neq-x_{2}^{3}-x_{2}+12\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Άρα η $f$ είναι 1-1, δηλαδή είναι και αντιστρέψιμη.

ii) H $C_{f^{^{-1}}}$ με εξίσωση $y= f^{^{-1}}(x)$ τέμνει την ευθεία $(\epsilon):y=x$ όταν

$f^{^{-1}}(x)=x$

Απο την οποία προκύπτει η ισοδύναμη εξίσωση:

$\begin{align*} &f^{-1}(x)=x\Leftrightarrow f(x)=x \Leftrightarrow\\ & -x^{3}-x+12=x \Leftrightarrow \\ & -x^{3}-x-x+12=0 \Leftrightarrow \\ & -x^{3}-2x+12=0. \end{align*}$

Για την τελευταία κάνουμε σχήμα Horner με το $2$ και έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

οπότε:

$\begin{align*} & -x^{3}-2x+12=0 \Leftrightarrow \\ &(x-2)(-x^2-2x-6)=0\Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x-2= 0$ \\\\ $-x^2-2x-6= 0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x=2.$ \\\\ $x^2+2x+6= 0$ \end{tabular} \right. \end{align*}$

απο την οποία έχουμε μόνο $x=2,$ αφου το τριώνυμο $x^2+2x+6= 0$ έχει αρνητική διακρίνουσα $\Delta =-20$ και δεν έχει λύσεις.
Αφού αναζητάμε το κοινό σημείο τομης των $C_{f^{-1}}$ και της ευθείας $(\epsilon):y=x,$ απο τον τύπο της $(\epsilon)$ για $x=2$ έχουμε $y=2$
Άρα η $C_{f^{-1}}$ και η ευθεία $(\epsilon):y=x$ τέμνονται στο σημείο $A(2,2).$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά