Επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:
Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αυξουσα. Να αποδειχθεί ότι
Λύση
Θα αποδείξουμε πρώτα ότι από
Έστω ότι το είναι ρίζα της τότε
Άρα
Ας υποθέσουμε τωρα ότι το δεν είναι ρίζα της εξίσωσης οπότε αφου τότε θα ισχύει ή
Περίπτωση 1.
Έστω τότε αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε:
άτοπο αφού αρχικά υποθέσαμε
Περίπτωση 2.
Έστω τότε αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε:
άτοπο αφού αρχικά υποθέσαμε
Τελικά απο περίπτωση 1 και 2 έχουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει ή τότε
Συνεπώς αν το είναι ρίζα της τότε ειναι και της δηλαδή, για κάθε γνησίως αύξουσα συναρτηση ισχύει η συνεπαγωγή:
Θα αποδείξουμε τώρα το αντίστροφο.
Δηλαδη αν τότε
Έστω ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης τότε
δηλαδή έχουμε :
οπότε και
Συνεπώς αν το είναι ρίζα της τότε ειναι και της δηλαδή, για κάθε γνησίως αύξουσα συναρτηση ισχύει η συνεπαγωγή:
Τελικα για κάθε γνησιως αυξουσα συνάρτηση ισχύει η ισοδυναμία
Γενικότερα, έστω μια 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται η αντίστροφη Αποδείξαμε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες, δηλαδή:
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων και , είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της με την ή της με την
Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες. Μπορεί δηλαδή να υπάρχουν σημεία τομής των και που δεν ανήκουν στην ευθεία
Για παράδειγμα η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το και είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα
και Αρα σε κάθε ένα απο αυτα τα διαστήματα είναι και 1-1 συνάρτηση οπότε ορίζεται και η αντίστροφος. Έυκολα βρίσκουμε ότι Απο την παρακάτω γραφική απεικόνιση βλέπουμε ότι υπάρχουν σημεία τομής των και που δεν ανήκουν στην ευθεία
Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση
i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη.
ii) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των και
Λύση
i)Το πεδίο ορισμού της είναι το Θα μελετήσουμε την ως προς τη μονοτονία.
Έστω με
Έχουμε:
Προσθέτοντας, κατά μέλη στην την σχέση έχουμε:
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε είναι 1-1, δηλαδή αντιστρέψιμη.
ii) Η με τέμνει την με όταν
Αφου η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο τότε η και τέμνονται πάνω στην ευθεία οπότε για το σημείο τομής είναι το
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Λουκόπουλος εκδόσεις Εν Δυνάμει.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .