Όλα τα άρθρα του/της Νίκος Διακόπουλος

https://www.linkedin.com/profile/view?id=AAMAAAjBCJMB6EeshfR3d4vb9v_yKk9oDICTDoo&authType=&authToken=&trk=mp-allpost-aut-name
Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

3 σχόλια

ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική μιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

*f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\Big(f(x)g(x)\Big)'

*f(x)+xf'(x)=(xf(x))'

*\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)' με g(x)\neq 0

*\dfrac{f'(x)+xf'(x)}{x^2}=\Big(\dfrac{f(x)}{x}\Big)' x\neq 0

*f^{\nu}(x)f'(x)=\Big(\dfrac{f^{\nu+1}(x)}{\nu+1}\Big)'

*x^{\nu}=\Big(\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}\Big)'

*e^{f(x)}f'(x)=\Big(e^{f(x)}\Big)'

*\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\Big(ln|f(x)|\Big)' f(x)\neq 0
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Σχολιάστε

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta), ώστε να ισχύει μια σχέση, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε στη θέση του \xi το x και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε να έχουμε μια εξίσωση της μορφής

        \[g(x)=0\]

  • Αν δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano για τη g στο [\alpha,\beta], τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της g, για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για τη G στο [\alpha,\beta] αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f(x)=0\]

    έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα \Delta και
    δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano, τότε μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    * Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της f για την οποία ισχύει

        \[F'(x)=f(x)\]

    * Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f στο διάστημα \Delta, αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.
    Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει

        \[f(2)=f(3)=f(4)\]

    Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(2,4) τέτοιο ώστε

        \[f''(\xi)=0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    1 σχόλιο

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\beta) και
  • f(\alpha)=f(\beta).
    Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE →
    • Γ Λυκείου / ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

    ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

    1 σχόλιο

    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f, η οποία:
    i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3.
    ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία (\zeta): y=5x-7.
    iii) Είναι κάθετη στην ευθεία (\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}
    iv) Να είναι παράλληλη στο άξονα x'x.
    v) Να σχηματίζει γωνία 45^{\circ} με τον άξονα x'x.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

    ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

    2 σχόλια

    ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

    Παράδειγμα.1
    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+9 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο σημείο της A(2,f(2)).
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ →

    Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    3 σχόλια

    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της f^{-1} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in f(A) με την προυπόθεση ότι f'(f^{-1}(x_0))\neq0.
    Συνεπώς για κάθε x\in A ισχύει ότι:

        \[f^{-1}(f(x))=x\]

    Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

        \begin{align*} &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει

        \[f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}\]

    Να βρείτε τις τιμές f(0) και f'(0)
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ →