ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ μια συνάρτηση $1-1$ και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0\in f(A)$ με την προυπόθεση ότι $f'(f^{-1}(x_0))\neq0.$
Συνεπώς για κάθε $x\in A$ ισχύει ότι:

$f^{-1}(f(x))=x$

Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

$\begin{align*} &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}$

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x+x$
i) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
ii) Να βρείτε την $(f^{-1})'(1).$
Λύση
i) Η συνάρτηση

$f(x)=e^x+x$

έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}.$
Για κάθε $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ με $x_1<x_2$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &x_1<x_2 \Leftrightarrow\\ &e^{x_1}<e^{x_2} \end{align*}$

Άρα έχουμε:

$\begin{align*} &e^{x_1}+x_1<e^{x_2}+x_2 \Leftrightarrow\\ &f(x_1)<f(x_2) \end{align*}$

Επομένως η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα άρα και $1-1$ συνεπώς αντιστρέφεται.
ii) Αφου $f(x)= e^{x}+x$
για $x=0,$ έχουμε ότι $f(0) = e^{0} +0\Leftrightarrow f(0)= 1\Leftrightarrow 0 =f^{-1}(1).$
Επιπλέον για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει ότι $f^{-1}(f(x))=x$ , οπότε:

$\begin{align*} &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}$

Από την παραπάνω σχέση για $x=0$ έχουμε:

$\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(0)\big)f'(0)=1$

Όμως είναι:

$f'(x)=e^x+1$

Άρα

$f'(0)=1+1=2.$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &\Big(f^{-1}\Big)'(1)\cdot(2)=1 \Leftrightarrow\\ &\Big(f^{-1}\Big)'(1)=\frac{1}{2} \end{align*}$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

3 απαντήσεις στο “ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Λαθος κυριε Διακοπουλε , η χρηση του συγκεκριμενου τυπου γινεται μονο αν γνωριζουμε οτι ειναι παραγωγισιμη η συναρτηση..οποτε παμε με θετω..
////πανελληνιες 2021///

Απάντηση

Ο/Η Νίκος Διακόπουλος λέει:

18 Δεκεμβρίου 2020 στις 08:40

Σας ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο σας.
Η συνάρτηση f(x)=e^x+x είναι παραγωγίσιμη στο R το οποίο αναφέρεται.

Απάντηση
1. Ο/Η Νίκος Καραματζιάννης λέει:
  
  16 Μαΐου 2023 στις 18:47
  
  Ο κ Γιώργος Σ. μιλούσε για την αντίστροφη συνάρτηση που δεν ξέρουμε αν είναι αντιστρέψιμη, οπότε δεν μπορείτε να τη παραγοντοποιήσετε.
  Η μεθοδολογία που εφαρμόσατε ΠΡΕΠΕΙ να έχει έξτρα στην υπόθεση ότι η αντίστροφη παραγοντοποιείται στο πεδίο ορισμού της το οποίο και θα έπρεπε να είχαμε βρει γιατί και εκεί μπορεί να έχουμε πρόβλημα γιατί δεν ξέρουμε αν δέχεται τη τιμή 1.
  
  Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30