Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Για τον υπολογισμό του ορίου στο άπειρο, συναρτήσεων που περιέχουν ριζικά, δηλαδή της μορφής:

    \[\sqrt[\nu]{f(x)}\pm g(x) \, \,\text{ή} \,\, \sqrt[\nu]{f(x)}\pm \sqrt[\mu]{g(x)} \quad \text{με} \,\,\nu,\mu \in \mathbb{N}, \, \,\nu,\mu \geq 2.\]

Δουλεύουμε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Σχολιάστε

Γενικά, για να υπολογίσουμε το όριο στο άπειρο σε συναρτήσεις που περιέχουν απόλυτες τιμές, υπολογίζουμε πρώτα το όριο στο άπειρο των συναρτήσεων που βρίσκονται μέσα στις απόλυτες τιμές, ώστε γνωρίζοντας το πρόσημό τους να μπορέσουμε να βγάλουμε τα απόλυτα.
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε

Για τον υπολογισμό, ορίου στο άπειρο, αθροίσματος ή διαφοράς δύο ρητών συναρτήσεων, υπολογίζουμε στο άπειρο το όριο κάθε ρητής συνάρτησης ξεχωριστά. Στην περίπτωση που προκύψει η απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο τότε κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και υπολογίζουμε το όριο στο άπειρο της νέας ρητής συνάρτησης που προκύπτει.
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Έστω η ρητή συνάρτηση

    \[Q(x)=\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}+\alpha_{\nu-1}x^{\nu -1}+\cdots +\alpha_{1}x+\alpha_{0} }{\beta_{\mu}x^{\mu}+\beta_{\mu-1}x^{\mu -1}+\cdots +\beta_{1}x+\beta_{0} }\quad \text{με} \, \alpha_{\nu},\beta_{\mu}\neq 0.\]

Για να υπολογίσουμε τα όριο στο άπειρο, της ρητής συνάρτησης, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}Q(x) και \displaystyle\lim_{x\to-\infty}Q(x), υπολογίζουμε το όριο στο άπειρο του λόγου του μεγιστοβάθμιων όρων δηλαδη:

    \[\lim_{x\to +\infty}Q(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}Q(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\beta_{\mu}x^{\mu}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\alpha_{\nu}}{\beta_{\mu}}\cdot x^{\nu-\mu}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε

‘Εστω η πολυωνυμική συνάρτηση

    \[P(x)=\alpha_{\nu}x^{\nu}+\alpha_{\nu-1}x^{\nu -1}+\cdots +\alpha_{1}x+\alpha_{0} \quad \text{με} \quad \alpha_{\nu}\neq 0.\]

Για να υπολογίσουμε τα όρια στο απειρο,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}P(x) και \displaystyle\lim_{x\to-\infty}P(x) υπολογίζουμε, το όριο στο άπειρο, του μεγιστοβάθμιου όρου δηλαδη

    \[\lim_{x\to +\infty}P(x)=\lim_{x\to +\infty}\alpha_{\nu}x^{\nu}\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}P(x)=\lim_{x\to -\infty}\alpha_{\nu}x^{\nu}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Σχολιάστε

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Αν f(x)\leq g(x) κοντά στο x_{0}\in \rr και

  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=+\infty, τότε και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=+\infty.
  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=-\infty, τότε και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-\infty.

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.1.
Αν \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty, να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to 1} \Big[ \sqrt{4f^{2}(x)-3f(x)+2}+f(x)\Big]\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Σχολιάστε

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή του \lambda\in \rr, ώστε να ισχύει:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x-3}{x^{2}+\lambda x+\lambda +8}=-\infty.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Σχολιάστε

Για να υπολογίσουμε το μη πεπερασμένο όριο στο x_{0}\in \rr που περιέχει απόλυτες τιμές, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το πρόσημο των συναρτήσεων που είναι μέσα στο απόλυτο λαμβάνοντας υπόψιν

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = +\infty \quad \text{τότε} \, f(x)>0.\]

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = -\infty \quad \text{τότε} \, f(x)<0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

1 σχόλιο

Έστω οτι έχουμε να υπολογίσουμε ένα σύνθετο όριο απροσδιόριστης μορφής που περιέχει την συνάρτηση f(x). Εάν γνωρίζουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty τότε:

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f(x) στη μεγαλύτερη δύναμη.
  • Στους προσθετέους που δεν υπάρχει κοινος παράγοντας κάνουμε αναγκαστική παραγοντοποίηση και δημιουργούνται κλάσματα της μορφής \dfrac{1}{\big(f(x)\big)^{\nu}}, με \nu \in \mathbb{Ν}^{*}

    • Ισχύουν οι ιδιότητες:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ →