ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Φ10/204
Αρχείο ετικέτας ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Φ4/203
Φ3/202
ΘΕΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΟΡΙΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Μ29/390
ΘΕΜΑ
29
-(α)- Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης
![\[g(x)=x-\hm x.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d707e2337486c5aafe8d1b5d0cc2084_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-(β)- Δίνεται η συνάρτηση 
-(β.i)- Να βρείτε το σύνολο τιμών της 
-(β.ii) – Να δείξετε ότι η εξίσωση 
έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα 
για κάθε 
ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΟΡΙΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Μ29/390
Φ9/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση $ f:[0,1] \to \rr.$ Αν $ A(1,1)\in C_{f}$ τότε: \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση: $$ g(x) = \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{x} +2, \quad x\in (0,1)$$ \item Να βρείτε το σύνολο τιων της $ g. $ \item Δείξτε ότι η εξίσωση: $ \dfrac{f(x)}{x} = 1+ 2f(x)$ έχει μοναδική ρίζα στο $ (0,1).$ \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-402e42d92e3a99c989be44942311fec9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ8/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr $ για την οποία ισχύει: $$ x^{2} < f(x) < x^{2} +1, \quad x \in \rr.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ C_{f}$ τέμνει την ευθεία $ (\epsilon): y =2x $ σ'ὲνα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $ x_{0} \in (0,1) $ \item Αν η συνάρτηση $ f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: \begin{enumerate} \item Η $ g(x) = \dfrac{1}{f(x)}+ \dfrac{1}{e^{x}}-1,$ με $ x\in \rr$ είναι γνησίως φθίνουσα. \item Η εξίσωση $ e^{x} + f(x) = e^{x}f(x)$ έχει\\ μοναδική ρίζα στο $ (0,2)$ \item Να βρείτε το $ \displaystyle\lim_{x\to 0}\big[ x^{2}f\big(\dfrac{1}{x}\big)+ \ln x \big]$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61aeee0af5b85527508d73c1be8219e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Στις περιπτώσεις που ζητάμε την μονοτονία μιας συνάρτησης
για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της, αλλά γνωρίζουμε ότι η σύνθεση της με μια συνάρτηση 
είναι ίση με μια συνάρτηση 
![\[g\circ f = h.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c03f6540e45f90915d7cb80a6620cb9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Πρέπει να υπολογίσουμε την μονοτονία της της 
οπότε θα είναι γνωστή και η μονοτονία της σύνθεσης τών συναρτήσεων 
με 
δηλαδη της 
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ
Στις ασκήσεις που αναζητάμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας μιας συνάρτησης, και δεν γνωρίζουμε συγκεκριμένο διάστημα στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, κάποιο απο τα υπαρξιακά θεωρήματα Bolzano, Rolle τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ
ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Έστω 
μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης εργαζόμαστε ως εξής
- Μελετάμε την ως προς τη μονοτονία.
- Βρίσκουμε τα διαστήματα
του πεδίου ορισμού της συνάρτησης σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.