Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης $f$ που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της $f$ χωρίς το απόλυτο. Τότε η $f$ γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Συνέχεια ανάγνωσης →

Γ Λυκείου,ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

17 Οκτωβρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

$f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}$

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

με $\alpha<x_o<\beta$ εργαζόμαστε ως εξής:

Για να έχει νόημα το

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

πρέπει η $f$ να είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ άρα και στο $x_0.$

Επίσης:

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ &=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ &=&... \end{eqnarray*}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

11 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Στη περίπτωση που η συνάρτηση $f,$ είναι ασυνεχής σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0})$ και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0})$ και η $f$ αυξάνεται αριστερά του $x_{0}$ και φθίνει δεξιά του $x_{0},$ τότε στο $x_{0}$ η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.

Αν $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0})$ και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0})$ και η $f$ φθίνει αριστερά του $x_{0}$ και αυξάνεται δεξιά του $x_{0},$ τότε στο $x_{0}$ η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ κοντά στη περιοχή του $x_{0}$ μας βοηθά στην απάντηση μας.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT,Χωρίς κατηγορία

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

11 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$ \end{tabular} \right.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

30 Νοεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Θεώρημα Fermat
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta.$
Αν ισχύουν τα παρακάτω

η $f$ παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο $x_0$ ,
το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ ,
η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ ,

τότε $f'(x_0)=0.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου,ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

27 Οκτωβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν για μια συνάρτηση $f$ ορίζεται στο σύνολο $A=\Delta_1\cup\Delta_2$ , όπου $\Delta_1$ και $\Delta_2$ διαστήματα και η παράγωγος $f'$ διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ των $\Delta_1$ και $\Delta_2$ , τότε η $f$ είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα $\Delta_1$ και $\Delta_2.$
Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο $A=\Delta_1\cup\Delta_2.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

Γ Λυκείου,ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

30 Αυγούστου 2016 Νίκος Διακόπουλος 3 σχόλια

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

Γ Λυκείου,ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

2 Μαΐου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ →

Ν. Α. Διακόπουλος

Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1283 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΘΕΜΑ 37

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά