Αρχείο ετικέτας BOLZANO

Για να λύσουμε εξισώσεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τη βοήθεια της μονοτονίας διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα
Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

5 Σεπτεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 2 σχόλια

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής $f(x)=0$ έχει ακριβώς $\nu,$ στο πλήθος ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον $\nu,$ στο πλήθος ρίζες.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

26 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

Αν $f$ συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα $A.$ Τότε το σύνολο τιμών της $f$ το $f(A)$ θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε
$f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]$

$A=\left[\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε
$f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]$

$A=\left(\alpha,\beta\right]$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=[\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσα τότε $f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως αύξουσα τότε $f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))$

$A=(\alpha,\beta)$ με $f$ Γνησίως φθίνουσατότε $f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))$

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

22 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $\left[\alpha,\beta\right]$ , τότε η $f$ παίρνει στο $\left[\alpha,\beta\right]$ μια μέγιστη τιμή $M$ και μια ελάχιστη τιμή $m$ .
Δηλαδή, υπάρχουν $x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right]$ τέτοια ώστε, αν $m=f(x_1)$ και $M=f(x_2)$ , να ισχύει

$m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]$

Αν $m =M$ Τότε η $f$ είναι σταθερή στο $[\alpha , \beta]$
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

21 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:[-3,3]\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει
$x^2+f^2(x)=9, \quad$ για κάθε $x \in[-3,3].$

i) Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=0$
ii) Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $A(0,3)$ να βρείτε τον τύπο της $f.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

21 Οκτωβρίου 2015 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , με $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $A(0,3)$ . Να βρείτε το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\left[f(-2)x^{3}+5x^2-3x+1\right]}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Ν. Α. Διακόπουλος

Αρχείο ετικέτας BOLZANO

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑ 8

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΜΤ ΘΕΜΑ 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH47

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΝΙΗ33

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά