ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:[-3,3]\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει
$x^2+f^2(x)=9, \quad$ για κάθε $x \in[-3,3].$

i) Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=0$
ii) Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $A(0,3)$ να βρείτε τον τύπο της $f.$

Λύση
Για κάθε $x\in [-3,3]$ ισχύει ότι:

$x^2+f^2(x)=9\Leftrightarrow f^2(x)=-x^2+9\quad (1)$

* Έχουμε:
$f(x)=0\Leftrightarrow f^2(x)=0\Leftrightarrow -x^2+9=0\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3$

ii) Από της σχέση $(1)$ προκύπτει ότι για κάθε $x\in[-3,3]$ ισχύει ότι:

$f^2(x)=-x^2+9\Leftrightarrow \sqrt{f^2(x)}=\sqrt{-x^2+9}\Leftrightarrow |f(x)|=\sqrt{-x^2+9}\quad (2)$
Όμως η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[-3,3]$ και ισχύει $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in(-3,3).$
Άρα η συνάρτηση $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $(-3,3).$
Επίσης η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $A(0,3),$ οπότε έχουμε $f(0)=3>0.$
Επομένως ισχύει ότι $f(x)>0$ για κάθε $x\in(-3,3).$

Επίσης είναι $f(-3)=f(3)=0$ , οπότε ισχύει: $f(x)\geq 0 \quad$ για κάθε $\quad x\in[-3,3].$
Έτσι από τη σχέση $(2)$ έχουμε:

$|f(x)|=\sqrt{-x^2+9}\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{-x^2+9}$

για κάθε $\quad x\in[-3,3]$

ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ ΠΙΟ ΣΎΝΘΕΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ

12.69 iii

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά