ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αν η $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $\left[\alpha,\beta\right]$ , τότε η $f$ παίρνει στο $\left[\alpha,\beta\right]$ μια μέγιστη τιμή $M$ και μια ελάχιστη τιμή $m$ .
Δηλαδή, υπάρχουν $x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right]$ τέτοια ώστε, αν $m=f(x_1)$ και $M=f(x_2)$ , να ισχύει

$m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]$

Αν $m =M$ Τότε η $f$ είναι σταθερή στο $[\alpha , \beta]$

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το $\left[\alpha,\beta\right]$ είναι το κλειστό διάστημα $\left[m,M\right]$ , όπου $m$ η ελάχιστη και $M$ η μέγιστη τιμή της.
Εστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα $\Delta = [\alpha, \beta].$ Αν $m\leq \eta \leq M,$ τότε το $\eta$ ανηκει στο σύνολο τιμών της $f$ στο $\Delta$ δηλαδή $\eta \in f(\Delta).$
Συνεπώς, απο Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{0}\in \Delta= [\alpha, \beta],$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=\eta.$
Αν $m\leq \eta \leq M$ και η $f$ γνησίως μονότονη στο $\Delta=[\alpha, \beta]$ τότε η εξίσωση $f(x)=\eta$ έχει μια ακριβώς ρίζα στο $\Delta.$
Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f : \left[ 2 , 5 \right] \to \RR$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_o \in \left[ \alpha, \beta \right]$ τέτοιο ώστε

$10f(x_o)=7f(3)+3f(4)$

Λύση
Η αρχική σχέση γίνεται:

$10f(x_o)=7f(3)+3f(4)\Leftrightarrow f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}$

Η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $\left[ 2 ,5\right]$ . Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση $f$ παίρνει στο διάστημα $\left[2,5\right]$ μια ελάχιστη $m$ και μια μέγιστη τιμή $M$ . Δηλαδή υπάρχουν $x_1,x_{2}\in\left[2,5\right]$ , τέτοια ώστε $f(x_1)=m$ και $f(x_2)=M$ για τα οποία ισχύει:

$m\leq f(x)\leq M \quad \text{για κάθε}\quad x\in\left[2,5\right]$

Επομένως ισχύουν:

$m\leq f(3)\leq M\Leftrightarrow 7m\leq 7f(3)\leq 7M$

$m\leq f(4)\leq M\Leftrightarrow3m\leq f(4)\leq 3M$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
$10m\leq 7f(3)+4f(3)\leq 10M\Leftrightarrow m\leq \dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\leq M$
Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
*Αν $m=M$ , τότε η $f$ είναι σταθερή και έτσι μπορούμε να επιλέξουμε τυχαίο $x_o\in\left[2,5\right]$ ώστε:

$f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}$

*Αν $m<M$ , τότε το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $\left[m,M\right]$ και ο αριθμός

$\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\in\left[m,M\right]$

οπότε υπάρχει υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_o\in\left[2,5\right]$ τέτοιο ώστε

$f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}.$

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .