Αρχείο ετικέτας ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ6/201

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία \\ισχύει: $$ xf(x) + \hm x = x^{2} \hm \frac{1}{x}, \quad x \neq 0.$$ \begin{enumerate} \item Να βρείτε τον τύπο της $ f.$ \item Να υπολογίσετε το $ \displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x).$ \item Να δείξετε ότι η εξίσωση $ f(x) = 0$ έχει μία \\τουλάχιστον θετική ρίζα. \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ6/201 →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Σχολιάστε

Ξέρουμε ότι: το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx είναι σταθερός αριθμός.
Δηλαδή \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx =c, \quad c\in \rr, οπότε θα ισχύει: \bigg(\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx\bigg)'=0.
Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε μια ισότητα I η οποία περιέχει τις f(x), f(x) και το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx και θέλουμε να βρούμε την f τότε:

  • Θέτουμε c=\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx \quad (1.)
  • Αντικαθιστούμε στη σχέση I το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx με το c
  • Βρίσκουμε την συνάρτηση f συναρτήσει του c και
  • Την αντικαθιστούμε στη σχέση (1).

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΕΚΦΡΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1 σχόλιο

Παράδειγμα.
Να εκφράσετε τη συνάρτηση f, ώς σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν ισχύει:
i.) \quad f(x) = e^{-x} \quad ii.) \quad f(x) = \syn^{3}(2x)+1
iii.) f(x) = e^{g(x)}-g^{3}(x)-\hm g(x) όπου g:\rr \to\rr.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΚΦΡΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε

Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

    \[f'(x)=g'(x)\]

για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1, \Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Σχολιάστε

Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Οι f,g είναι συνεχείς στο \Delta και
  • f'(x)=g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    • Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει:

        \[f(x)=g(x)+c\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Σχολιάστε

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: f'(x)=0 για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1,\Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

    • Η f είναι συνεχής στο \Delta και
    • f'(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \Delta.

    Για τις ασκήσεις, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστημα \Delta, εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο \Delta
    • Αποδεικνύουμε ότι

          \[f'(x)=0\]

      για κάθε εσωτερικό σημείο x \in \Delta.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    2 σχόλια

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
    • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
    • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
      όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
    • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
    • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    1 σχόλιο

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

        \[f(x+y),\]

    τις αντιμετωπίζουμε με μία απο τις παρακάτω αντικαταστάσεις:

    • όπου x και y το 0.
    • όπου y το -x.
    • όπου x το y και αντιστρόφως.
    • όπου y το μηδέν οπότε έχουμε ισότητα μόνο ως προς x.

    Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

        \[f(x\cdot y),\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

     

    Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις (f \circ g)(x) και g(x), τότε για να βρούμε τη συνάρτηση f(x) εργαζόμαστε ως εξής:

    • Θέτουμε όπου g(x)=u.
    • Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x.
    • Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στον τύπο f(g(x).)

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →