ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ . Αν:

Η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και
$f'(x) = 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$

τότε η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\Delta.$

Για τις ασκήσεις, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση $f$ είναι σταθερή σε ένα διάστημα $\Delta$ , εργαζόμαστε ως εξής:

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$
Αποδεικνύουμε ότι
$f'(x)=0$

για κάθε εσωτερικό σημείο $x \in \Delta.$

Όταν μια συνάρτηση $g$ είναι σταθερή σε ένα διάστημα $\Delta,$ τότε ισχύει ότι:

$g(x) = c \quad \text{για κάθε } \quad x \in \Delta.$

Συνεπως εάν απο τα δεδομένα της άσκησης μπορούμε να υπολογίσουμε οτι για κάποιο $x_{0} \in \Delta,$ ισχύει

$g(x_{0}) = c$

τότε θα ισχύει:

$g(x)=g(x_0) \quad\text{για κάθε} \quad x\in\Delta$

Παράδειγμα

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow \rr$ για την οποία ισχύει

$f(2)=3 \quad \text{και} \quad xf'(x)=3x-2f(x)$

για κάθε $x\in(0,+\infty).$

i.) Δείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=x^2f(x)-x^3$ είναι σταθερή στο $(0,+\infty).$
ii.) Να βρείτε τον τύπο της $f.$

Λύση

i.) Η συνάρτηση $g$ είναι συνεχής στο διάστημα $(0,+\infty)$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.

Για να αποδείξουμε ότι η $g$ είναι σταθερή αρκεί να αποδείξουμε ότι $g'(x)=0$ για κάθε $x\in(0,+\infty).$

Έχουμε:

$\begin{align*} & g'(x) =(x^2f(x)-x^3)'\Rightarrow\\\\ &g'(x)=2x \cdot f(x)+x^2\cdot f'(x)-3x^2 \quad (1.) \end{align*}$

Όμως για κάθε $x\in(0,+\infty)$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} & xf'(x)=3x-2f(x) \Leftrightarrow \\\\ & f'(x)=\frac{3x-2f(x)}{x} \quad (2.) \end{align*}$

Άρα έχουμε:

$\begin{align*} (1.)\overset{(2.)}{\Rightarrow} & g'(x)=2x\cdot f(x)+x^2 \cdot \frac{3x-2f(x)}{x}-3x^2 \Rightarrow\\\\ & g'(x)=2x\cdot f(x)+x\cdot(3x-2f(x))-3x^2 \Rightarrow\\\\ & g'(x)=2x\cdot f(x)+3x^2-2x \cdot f(x)-3x^2 \Rightarrow\\\\ & g'(x) =0 \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $g$ είναι σταθερή στο $(0,+\infty).$

ii.) Επειδή η συνάρτηση $g$ είναι σταθερή στο $(0,+\infty),$ τότε για κάθε $x\in(0,+\infty)$ θα υπάρχει σταθερός αριθμος $c \in \rr$ ωστε να ισχύει $g(x)=c$ για κάθε $x\in \rr.$

Επειδή απο υπόθεση έχουμε, $f(2)=3,$ τότε αφού για κάθε $x\in \rr,$ ισχύει $g(x)=c$ τότε θα ισχύει και για $x=2.$
δηλαδή θα ισχύει:

$g(2) =c.$

Επιπλέον

$g(x) = x^2f(x)-x^3.$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} & g(2)=2^2f(2)-2^3 \Leftrightarrow \\ & g(2)=4\cdot 3-8 \Leftrightarrow \\ & g(2) =4. \end{align*}$

Άρα για κάθε $x\in(0,+\infty)$ ισχύει ότι:

$g(x)=4 \Leftrightarrow x^2f(x)-x^3=4 \Leftrightarrow f(x)=\frac{x^3+4}{x^2}.$

Δηλαδή είναι $f(x)=\dfrac{x^3+4}{x^2}$ με $x\in(0,+\infty).$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά