Αρχείο ετικέτας ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ, Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

    \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • θέτουμε u =f^{-1}(x)\Rightarrow f(u) = x, οπότε f'(u)du = dx

    • Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

  • για x=\alpha έχουμε: f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.
  • για x=\beta έχουμε: f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.

    •     \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]

    Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    Σχολιάστε

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    Στα ολοκληρώματα ρητής ή άρρητης συνάρτησης όπου η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο ως x^{2} αρκετές φορές χρειάζεται να κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου ή της εφαπτομένης αξιοποιώντας την ταυτότητα \hm^{2}x+ \syn^{2}x =1.

    Τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου


    Για υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής

        \[\int_{\kappa}^{\lambda} f\Big( x, \sqrt{\beta^{2} -\alpha^{2}x^{2}}\Big)\, dx.\]

    Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου δηλαδή:

        \[\text{Θέτουμε } \quad x = \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \hm u \quad \text{με} \quad u \in \big[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\big].\]


    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Σχολιάστε

    Για την ολοκλήρώση τριγωνομετρικων συναρτήσεων της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} \hm^{\nu}x \cdot \syn^{\mu}x \,\, dx\]

    διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν το \hm x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \syn x.
  • Αν το \syn x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \hm x.
  • Αν το \hm x και το \syn x είναι υψωμένο σε άρτια δύναμη, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους του αποτετραγωνισμού
    \syn^{2}x =\dfrac{1+\syn2x}{2} και \hm^{2}x =\dfrac{1-\syn2x}{2}.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ, Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    2 σχόλια

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x =u.
    Οπότε:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x=u.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    Σχολιάστε

    Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

    εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.


    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

    Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

        \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

    Οπότε έχουμε:

        \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

    Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
    ως προς x.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →