Αρχείο ετικέτας ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΗΔΕΝ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ

Σχολιάστε

Για να υπολογίσουμε ενα όριο της μορφής \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)} με \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=l \neq 0 και\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=0
Tότε βρίσκουμε το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}
και το ζητούμενο όριο θα μας κανει +\infty ή -\infty.
Δηλαδή

  •   \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty στην περίπτωση που l ομόσημο με το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}
  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=-\infty στην περίπτωση που l ετερόσημο με το πρόσημο της g(x) κοντά στο x_{0}

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΗΔΕΝ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ →

Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ

Σχολιάστε
  • Αν είναι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0 και f(x) > 0 κοντά στο x_{0}, τότε

        \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =+\infty\]

  • Αν είναι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) =0 και f(x) < 0 κοντά στο x_{0}, τότε

        \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\dfrac{1}{f(x)} =-\infty\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΜΗΔΕΝ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Σχολιάστε

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει:

    \[\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2, \forall x \in \rr\]

Να βρείτε τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } .\afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}\quad$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}$ \\ \end{tabular} \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Σχολιάστε

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει

    \[\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1}}=6\]

Να υπολογίσετε τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} .\afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)}{x}}$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{xf(x)-\hm^2 x}{\sqrt{x^2+4}-2}}$\\ \end{tabular} \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΟΡΙΟ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Σχολιάστε

Για τον υπολογισμό ορίων της μορφής A = \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f\big(g(x)\big), τότε:

  • Θέτουμε g(x) = u, οπότε \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}g(x) = u_{0}.
  • Αν u \neq u_{0} κοντά στο x_{0}, τότε A =\displaystyle\lim_{u \to u_{0}}f(u).

Δηλαδή αντί να υπολογίσουμε το \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f\big(g(x)\big), υπολογίζουμε το (πιθανόν) ευκολότερο \displaystyle\lim_{u \to u_{0}}f(u).

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

10 σχόλια

Έστω ένα όριο της μορφής:

    \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))\]

όπου f,g συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:

  • \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}f(x)=0, δηλαδή η f είναι “μηδενική” συνάρτηση.
  • |g(x)|\leq M, όπου M>0, δηλαδή η g είναι μια φραγμένη συνάρτηση.

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ

1 σχόλιο

Όταν έχουμε να υπολογίσουμε το όριο του ημιτονου και το όριο του συνημιτόνου στο \textcolor{color3}{ x_{0} \in \mathbb{R}} γενικα ισχύει ότι

    \[\textcolor{color3}{\lim_{x\to x_{0}}{ \hm x =\hm x_{0}} \quad \text{και} \quad \lim_{x\to x_{0}} \syn x =\syn x_{0}.}\]

Στην περίπτωση που έχουμε τριγωνομετρικά όρια στο \textcolor{color3}{x_{0} =0 ,} της απροσδιόριστης μορφής μηδέν προς μηδέν, \textcolor{color3}{\dfrac{0}{0},} για να ξεπεράσουμε την απροσδιοριστία κάνουμε κατάλληλους μετασχηματισμούς, ώστε να εμφανιστούν τα όρια:

    \[\textcolor{color3}{\lim_{x\to 0}{ \frac{\hm x}{x}=1} \quad \text{και} \quad \lim_{x\to 0} \frac{\syn x -1}{x}=0.}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ →