Γ Λυκείου / ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Παράδειγμα.1
Δίνεται συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία, για κάθε x\in\mathbb{R}, ισχύει:

    \[f(x)+3f(2-x)=-4x\]

Να βρείτε:
i) Την τιμή f(1).
ii) Τον τύπο της συνάρτησης f.

Λύση
i)Αφού για κάθε x\in\mathbb{R}, ισχύει f(x)+3f(2-x)=-4x, τότε θα ισχύει και για x=1 δηλαδη,

    \begin{align*} &f(1)+3f(2-1)=-4 \Leftrightarrow\\\\ &f(1)+3f(1)=-4 \Leftrightarrow \\\\ &4f(1)=-4 \Leftrightarrow\\\\ &f(1)=-1 \end{align*}

ii)Από την σχέση

    \[f(x)+3f(2-x)=-4x\]

αν θέσουμε όπου x το 2-x έχουμε:

    \begin{align*} &f(2-x)+3f(x)=-4(2-x) \Leftrightarrow \\\\ &f(2-x)+3f(x)=-8+4x \Leftrightarrow\\\\ &f(2-x)=4x-8-3f(x) \end{align*}

Αν αντικαταστήσουμε την τελευταία σχέση στην αρχική έχουμε:

    \begin{align*} &f(x)+3(4x-8-3f(x))=-4x \Leftrightarrow\\\\ &f(x)+12x-24-9f(x)=-4x \Leftrightarrow\\\\ &-8f(x)=-4x-12x+24 \Leftrightarrow\\\\ &-8f(x)=-16x+24 \Leftrightarrow\\\\ & f(x) = 2x-3. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *