Γ Λυκείου / ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.
  • Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) και τη λύνουμε ως προς x θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y.
  • Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.
  • Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της f.

  • Παράδειγμα
    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{5x-8}{x-3} Να βρείτε:
    i) Το πεδίο ορισμού της f.
    ii)Το σύνολο τιμών της f.
    Λύση
    i) Η συνάρτηση f(x)=\dfrac{5x-8}{x-3} ορίζεται όταν:
    x-3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3.
    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο: A_{f}=\mathbb{R}-\{3\}

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ii) Λύνουμε ως προς x την εξίσωση

        \begin{align*} &y=f(x) \Leftrightarrow y=\frac{5x-8}{x-3} \Leftrightarrow\\\\ &(x-3)y=5x-8 \Leftrightarrow xy-3y=5x-8 \Leftrightarrow\\\\ &xy-5x=3y-8 \Leftrightarrow (y-5)x=3y-8 \stackrel{y \neq 5}{\Leftrightarrow} \\\\ &x=\frac{3y-8}{y-5} \end{align*}

    Στο σημείο αυτό θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους περιορισμούς που ισχύουν για το x δηλαδή x \in A_{f}.
    Πρέπει:

        \begin{align*} &x\in\mathbb{R}-\{3\} \Leftrightarrow\\\\ &\frac{3y-8}{y-5} \neq 3 \Leftrightarrow\\\\ &3y-8 \neq 3y-15 \Leftrightarrow\\\\ &0y \neq -7 \Leftrightarrow 0\neq -7 \end{align*}

    ισχύει για κάθε y\in\mathbb{R}
    Συναληθεύοντας τους περιορισμούς έχουμε ότι θα πρέπει μόνο το y\neq 5. Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f(A)=\mathbb{R}-\{5\}.

    ΣΗΜΕΙΩΣΗ
    Στη συνέχεια της ύλης της Γ Λυκείου θα μάθουμε να υπολογίζουμε το σύνολο τιμών Συνεχών συναρτήσεων ο οποίος αρκετές φορές είναι πιο βατός τρόπος.

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *