ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ με πεδία ορισμού $A$ και $B$ αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

$S(x)=f(x)+g(x),$ για $x \in A\cap B$ (Δηλαδή το άθροισμα $S$ έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων $A$ και $B$ δηλαδή το σύνολο $A\cap B.$ )

$D(x)=f(x)-g(x),$ για $x \in A\cap B$ (Δηλαδή το άθροισμα $S$ έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων $A$ και $B$ δηλαδή το σύνολο $A\cap B.$ )

$P(x)=f(x)\cdot g(x),$ για $\quad x \in A\cap B$ (Δηλαδή το άθροισμα $S$ έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων $A$ και $B$ δηλαδή το σύνολο $A\cap B.$ )

$R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},$ για $\{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\}$ (Δηλαδή το πηλίκο $R$ έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων $A$ και $B,$ τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο $\{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\}$ ).

Παράδειγμα.1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\sqrt{x-1}$ και $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x}$ Να ορίσετε τις συναρτήσεις $f+g, f-g, f\cdot g$ και $\dfrac{f}{g}.$

Λύση

Αρχικά θα βρούμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g.$
Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x-1}$ ορίζεται όταν

$\begin{align*} &x-1 \geq 0 \Leftrightarrow\\ &x \geq 1 \end{align*}$

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ είναι το σύνολο

$A_{f}=[1, +\infty)$

Η συνάρτηση

$g(x)=\frac{x^2-4}{x^2-3x}$

ορίζεται όταν

$x^2-3x \neq 0 \Leftrightarrow x(x-3)\neq0 \Leftrightarrow x\neq0 \quad \& \quad x\neq 3$

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ είναι το σύνολο

$A_{g}=\mathbb{R}-\{0,3\}$

Οι συναρτήσεις $f+g, f-g, f\cdot g$ έχουν πεδίο ορισμού τα κοινά σημεία των $A_{f}$ και $A_{g},$ δηλαδή το σύνολο

$A=A_{f}\cap A_{g}=[1,3)\cup(3,+\infty)$

και τύπους αντίστοιχα

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{x^2-4}{x^2-3x}$

$(f-g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x-1}-\dfrac{x^2-4}{x^2-3x}$

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt{x-1}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-3x}$

Τέλος έχουμε

$\begin{align*}Δ &g(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow x^{2}=4 \Leftrightarrow x=\pm2 \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $\dfrac{f}{g}$ έχει πεδίο ορισμού τα κοινά σημεία των $A_{f}$ και $A_{g},$ εκτός απο τα σημεια που μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή:

$\begin{eqnarray*} A_{\frac{f}{g}} &=& A_{f}\cap A_{g}-\{x \quad / \quad g(x)=0\}\\ &=&[1,2)\cup(2,3)\cup(3, +\infty) \end{eqnarray*}$

και τύπο

$\bigg(\dfrac{f}{g}\bigg)(x) =\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{\sqrt{x-1}}{\frac{x^2-4}{x^2-3x}} =\dfrac{(x^2-3x)\sqrt{x-1}}{x^2-4}$

Παράδειγμα.2

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x-4, \quad x \leq 2$ \\ $3x-2, \quad x>2$ \\ \end{tabular} \right.$

και

$g(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $2-x, \quad x \leq -1$ \\ $x+1, \quad x>-1$ \\ \end{tabular} \right.$

Να ορίσετε τη συνάρτηση $f+g.$
Λύση
Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων ορίζονται στα κοινά σημεία του πεδίου ορισμού τους. Άρα έχουμε:
Για $x \leq -1$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-4+2-x=-2$

Για $-1< x \leq 2$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-4+x+1=2x-3$

Για $x >2$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x-2+x+1=4x-1$

Άρα έχουμε ότι:

$(f+g)(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $-2, \quad x \leq -1$ \\ $2x-3, \quad -1<x \leq 2$ \\ $4x-1, \quad x>2$\\ \end{tabular} \right.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μία απάντηση στο “ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά