Γ Λυκείου / ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A_{f} και A_{g} αντίστοιχα. Αν ισχύει f(A)\cap A_{g} \notin \emptyset, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε με g \circ f τη συνάρτηση που έχει:

  • Πεδίο ορισμού το σύνολο A_{g \circ f}=\{x\in A_{f} \quad / \quad f(x) \in A_{g}\}
  • Και τύπο (g \circ f)(x)=g(f(x)).

Παράδειγμα.1
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\sqrt{x} \quad \text{και} \quad g(x)=-x^2-1. Να βρείτε τις συναρτήσεις:\quad
i) g \circ f
ii) f \circ g
Λύση
Αρχικά θα βρούμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.

Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x} ορίζεται όταν: x \geq 0
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=[0, +\infty )

Η συνάρτηση g(x)=-x^2-1 ορίζεται όταν για κάθε x\in \mathbb{R}
Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο A_{g}=\mathbb{R}.

i)Για να βρούμε την συνάρτηση g \circ f πρέπει να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της A_{g \circ f} και τον αλγεβρικό της, τύπό.
Έχουμε:

    \begin{align*} & A_{g \circ f} =\{x\in A_{f} / f(x)\in A_{g}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\in A_{f}$ \\ $ f(x)\in A_{g}$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\in [0,+\infty)$ \\ $ f(x)\in \mathbb{R}$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\in [0,+\infty)$ \\ $ \sqrt{x}\in \mathbb{R}$ \\ \end{tabular} \right. \end{align*}

Επειδή \sqrt{x}\in \mathbb{R} έχουμε μόνο x\in [0, +\infty ), δηλαδή, A_{g \circ f}=[0,+\infty).

Αλγεβρικός τύπος της g \circ f με f(x)=\sqrt{x} \quad \text{και} \quad g(x)=-x^2-1.

    \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g\big(f(x)\big) \\ &=-\Big(f(x)\Big)^{2}-1\\ &=-(\sqrt{x})^2-1\\ &=-x-1. \end{align*}

Τελικά \big(g \circ f\big) (x)=-x-1.
ii)Για να βρούμε την συνάρτηση f \circ g πρέπει να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της A_{f \circ g} και τον αλγεβρικό της, τύπό.
Έχουμε:

    \begin{align*} & A_{f \circ g} =\{x\in A_{g} / g(x)\in A_{f}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\in A_{g}$ \\ $ g(x)\in A_{f}$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{ \begin{tabular}{ll} $x\in \mathbb{R}$ \\ $ g(x)\in [0, +\infty )$ \\ \end{tabular} \right. \end{align*}

Επειδή x\in \mathbb{R} έχουμε μόνο g(x)\in [0, +\infty ), δηλαδή

    \begin{align*} & g(x)\in [0, +\infty )\Leftrightarrow \\ & g(x) \geq 0 \Leftrightarrow \\ &-x^2-1 \geq 0 \Leftrightarrow \\ &-1 \geq x^{2} \Leftrightarrow \\ &x^{2}\leq-1. \end{align*}

Το οποίο είναι αδύνατο άρα η f \circ g δεν ορίζεται.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *