Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 σχόλιο
Print Friendly, PDF & Email

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Για τον υπολογισμό της μονοτονίας μιας συνάρτησης με τη χρήση του ορισμού θα πρέπει να γνωρίζουμε τον λογισμό πράξεων μεταξύ διατάξεων

Παράδειγμα.1
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

    \[f(x)=5-\sqrt{6-2x}.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x)=5-\sqrt{6-2x} ορίζεται όταν:

    \begin{align*} &6-2x \geq 0 \Leftrightarrow\\ &2x \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 3 \end{align*}

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=(-\infty,3]
Έστω x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3], με x_{1} < x_{2}. Έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \\\\ &-2x_{1} > -2x_{2} \Leftrightarrow\\\\ &6-2x_{1} > 6-2x_{2} \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{6-2x_{1}} > \sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ &-\sqrt{6-2x_{1}} < -\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow \\\\ &5-\sqrt{6-2x_{1}} < 5-\sqrt{6-2x_{2}} \Leftrightarrow\\\\ &f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{align*}

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
x_{1}, x_{2} \in A_{f}=(-\infty,3], με x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})
συνεπώς, η f γνησίως αύξουσα στο A_{f}=(-\infty,3].
Παράδειγμα.2
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

    \[f(x)=e^x+x^3 .\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x)=e^x+x^3 ορίζεται για κάθε x\in\mathbb{R}.
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

    \[A_{f}=\mathbb{R}.\]

Έστω x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, με x_{1} < x_{2}.
Έχουμε:

    \begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3 < x_{2}^3 \end{align*}

επιπλέον

    \begin{align*} &x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow e^{x_{1}} < e^{x_{2}} \end{align*}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες και προκύπτει:

    \begin{align*} &e^{x_{1}}+x_{1}^3<e^{x_{2}}+x_{2}^3 \Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{align*}

Δηλαδή δείξαμε ότι για κάθε
x_{1}, x_{2} \in A_{f}=\mathbb{R}, με x_{1} < x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})
συνεπώς, η f γνησίως αύξουσα στο A_{f}=\mathbb{R}.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *