ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x)$ , οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)\leq 0$ ή $f(x)\geq 0$

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα $\rho$ της εξίσωσης $f(x)=0,$ οπότε η ανίσωση γίνεται $f(x)\leq f(\rho)$ ή $f(x)\geq f(\rho)$

Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της $f.$

π.χ. αν

Για την επίλυση ανισώσεων της μορφής $f\Big(g(x)\Big) < f\Big(h(x)\Big)$
έχουμε:
αν

Και λύνουμε την ανίσωση $g(x) < h(x)$ με κάποια γνωστή μέθοδο.
Ενώ αν

λύνουμε την ανίσωση $g(x) > h(x)$

Απο τα παραπάνω βγάζουμε τον συμπέρασμα ότι αν η $f$ γν.αυξουσα διατηρείται η διάταξη της ανίσωσης ενω αν η $f$ γν.φθίνουσα η διάταξη της ανίσωσης αλλάζει.

Παράδειγμα.1
Να λυθεί η ανίσωση $5x^3+\ln x<\dfrac{2}{x}+3.$
Λύση
Η ανίσωση έχει νόημα όταν $x>0$
Έχουμε:
$5x^3+\ln x<\dfrac{2}{x}+3\Leftrightarrow5x^3+\ln x-\dfrac{2}{x}-3<0.$

Θέτουμε $f(x)=5x^3+\ln x-\frac{2}{x}-3$ με $A_{f}=(0, +\infty).$
Έτσι η ανίσωση γίνεται:

$5x^3+\ln x-\frac{2}{x}-3<0 \Leftrightarrow f(x)<0$

Θα μελετήσουμε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
Έστω $x_{1}, x_{2} \in (0, +\infty)$ , με $x_{1}<x_{2}.$
Έχουμε:

$x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^3<x_{2}^3$

επίσης

$x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \ln x_{1}<\ln x_{2}$

επιπλέον

$x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{x_{1}}>\frac{1}{x_{2}} \Leftrightarrow -\frac{1}{x_{1}}<-\frac{1}{x_{2}}$

Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $x_{1}^3<x_{2}^3$ \\\\ \ln x_{1}<\ln x_{2} \\\\ $-\dfrac{1}{x_{1}}<-\dfrac{1}{x_{2}}$ \end{tabular} \right.\overset{+}{\Leftrightarrow}$

$\begin{align*} &x_{1}^3+ \ln x_{1}-\dfrac{1}{x_{1}}-3<x_{2}^3+ \ln x_{2}-\frac{1}{x_{2}}-3 \Leftrightarrow\\ &f(x_{1})<f(x_{2}). \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει μία προφανής ρίζα την $x=1$ αφού:

$\begin{align*} f(1)&=5\cdot 1^3+\ln 1-\frac{2}{1}-3\\ &=5+0-2-3=0 \end{align*}$

Και επειδη η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη (γν.αυξουσα,) αυτή η ρίζα είναι μοναδική.
Επομένως η ανίσωση γίνεται:

$f(x)<0 \Leftrightarrow f(x)<f(1)$

αφού

Παράδειγμα.2

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}$

i) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
ii) Να λύσετε την ανίσωση

$\dfrac{1}{2x^2+3}-\dfrac{1}{x^2+2x+6} >\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2x+6}.$

Λύση
i)Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{x}$

ορίζεται για $x>0$ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το $A_{f}=(0, +\infty)$ . Έστω $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$ με $x_1< x_2$ . Έχουμε:

$\begin{align*} &x_1< x_2 \Leftrightarrow \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2} \end{align*}$

επίσης

$\begin{align*} &x_1< x_2 \Leftrightarrow \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2} \Leftrightarrow -\sqrt{x_1}>-\sqrt{x_2} \end{align*}$

Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

$\frac{1}{x_1}-\sqrt{x_1}>\frac{1}{x_2}-\sqrt{x_2} \Leftrightarrow f(x_1)> f(x_2)$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
ii)Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$\dfrac{1}{2x^2+3}-\dfrac{1}{x^2+2x+6} >\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2x+6} \Leftrightarrow$

$\dfrac{1}{2x^2+3}-\sqrt{2x^2+3}>\dfrac{1}{x^2+2x+6} -\sqrt{x^2+2x+6} \Leftrightarrow$

$f(2x^2+3)>f(x^2+2x+6).$

αφού $f(x)=\dfrac{1}{x}-\sqrt{x}.$
Επιπλέον έχουμε ότι

Rendered by QuickLaTeX.com

$\begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} $ x $ & $ -\infty $& & $-1$ & & $3$ & & $+\infty $\\ \hline $ x^{2} -2x -3$ & & + & $ 0$ & - & $ 0$ & - & \\ \end{tabular} \end{align*}$