ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ `Η ΜΗ ΘΕΤΙΚΗ

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ , για την οποία:

Ισχύει $f'(x)>0$ (αντίστοιχα $f'(x)<0$ ) για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta.$

Η ισότητα $f'(x)=0$ ισχύει για διακεκριμένα σημεία του $\Delta$ , δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα σημεία τα οποία όμως δεν σχηματίζουν διάστημα.

Τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα) σε όλο το $\Delta.$

Παράδειγμα.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την

$f(x)=x+\sigma\upsilon\nu x-3$

Λύση
Για την δοθείσα συνάρτηση έχουμε:

$f(x)=x+\sigma\upsilon\nu x-3$

είναι συνεχής στο $\rr$ και για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$f'(x)=1-\eta\mu x \geq 0$

Επίσης παρατηρούμε ότι:

$\begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &\eta\mu x=1 \Leftrightarrow\\ &x=2\kappa\pi+\frac{\pi}{2}, \quad \kappa\in\mathbb{Z} \end{align*}$

Δηλαδή ισχύει ότι $f'(x)\geq0$ για κάθε $x\in\rr$ και η ισότητα

$f'(x)=0$

ισχύει για τα άπειρα αλλά διακεκριμένα σημεία

$x=2\kappa\pi+\frac{\pi}{2}, \quad \kappa\in\mathbb{Z}$

Επομένως η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Μία απάντηση στο “ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ `Η ΜΗ ΘΕΤΙΚΗ”

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά