Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία συνάρτησης πολλαπλού τύπου, δηλαδή για να μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία μια συνάρτηση της μορφής

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $f_1(x),$ & $x\leq x_0$ \\\\ $f_2(x),$ & $x >x_0$\\ \end{tabular} \right. \]

εργαζόμαστε ως εξής:

  • Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο x_0.
  • Βρίσκουμε τις f'_1 για x<x_0 και f'_2 για x>x_0. Δεν χρεάζεται να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0, διότι αυτό δεν επηρεάζει τη μονοτονία της f.
  • Βρίσκουμε το πρόσημο της f'_1 για x<x_0 και της f'_2 για x>x_0.
  • Σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο με το της f', όπως προκύπτει από τα πρόσημα των f'_1 και f'_2.
  • Συμπληρώνουμε τον πίνακα με την μοντονία της f.

Παράδειγμα.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2-2x-1,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-6x+7,$ &$x>2$\\ \end{tabular} \right. \]

Λύση

Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0}=2, δηλαδή θα πρέπει

    \[\lim_{x\to 2}f(x)=f(2).\]

Επειδή στο x_{0} =2, έχουμε αλλαγή τύπου πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια
Οπότε:
Για x<2,

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^-}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^-}(x^2-2x-1)=\\ &=-1 \end{align*}

Για x >2,

    \begin{align*} &\lim_{x \to 2^+}f(x)=\\ &\lim_{x \to 2^+}(x^2-6x+7)=\\ &=-1 \end{align*}

Απο το κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε:

    \[\lim_{x \to 2^+}f(x)=-1=\lim_{x \to 2^-}f(x)\Leftrightarrow \lim_{x\to 2}f(x) =-1\]

Επιπλέον

    \[f(2)=-1\]

Δηλαδή ισχύει ότι:

    \[\lim_{x\to 2}f(x) =f(2)\]

Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0} =2.
Για x<2 είναι:

    \[f'(x)=2x-2\]

Το πρόσημο της συνάρτησης 2x-2 για x<2 είναι:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c c ||c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & \multicolumn{2}{c}{$\,\, 2$}&\multicolumn{1}{r|}{\quad\tiny{$ +\infty $}} \\ \hline $ 2x-2$ & & $ -$ & $ 0$& $ +$ & &\multicolumn{2}{r|}{\cellcolor{gray!25}} \\ \hline \end{tabular}\ \]

Για x>2 είναι:

    \[f'(x)=2x-6\]

Το πρόσημο της συνάρτησης 2x-6 για x>2 είναι:

    \[ \begin{tabular}{|r| c c || c c c c c|} \hline $ x$ &\tiny{$ -\infty$}& \multicolumn{2}{c}{$2$}& &$ 3$ & &\tiny{$+\infty $}\\ \hline $ 2x-6$ &\cellcolor{gray!25}&\cellcolor{gray!25}& &-&$ 0$ &$ +$ &\\ \hline \end{tabular} \]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνεται στο παρακάτω πίνακα:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & $ 2$ & &$3$ & {\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $f'$ & & $ -$ &$ |$ & $ +$ & $ |$ & $ -$ & $|$ & $+$ & \\ \hline $f$ & & $ \searrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & \\ \hline \end{tabular} \]

Συγκεκριμένα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,2] και [3,+\infty) και γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,1] και [2,3].

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *