Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Αν για μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2, όπου \Delta_1 και \Delta_2 διαστήματα και η παράγωγος f' διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο x των \Delta_1 και \Delta_2, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_1 και \Delta_2.
Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2.

Έστω μια συνάρτηση f που ορίζεται στο διάστημα [\alpha,\beta] και x_0\in(\alpha,\beta).

  • Αν ισχύει f'(x)>0 για κάθε x\in(\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [\alpha,x_0) και (x_0,\beta].
    Για τη μονοτονία της f στο [\alpha,\beta] έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)>\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
    {\rightarrowtail} Αν η f είναι συνεχής στο x_0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)<\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f είναι γνησίως αύξουσα στο [\alpha,\beta].
  • Αν ισχύει f'(x)<0 για κάθε x\in(\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [\alpha,x_0) και (x_0,\beta]. Για τη μονοτονία της f στο [\alpha,\beta] έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)<\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].
    \rightarrowtail Αν η f είναι συνεχής στο x_0 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].
    \circ Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)>\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο [\alpha,\beta].

Παράδειγμα.1.
α μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $e^{x^3-3x^2}, \quad x\leq0$ \\ $x^2e^{1-x}, \quad x>0$\\ \end{tabular} \right. \]

Λύση

Για τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $e^{x^3-3x^2}, \quad x\leq0$ \\ $x^2e^{1-x}, \quad x>0$\\ \end{tabular} \right. \]

ισχύει ότι:

    \[ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(e^{x^3-3x^2})=1\]

και

    \[ \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}(x^2e^{1-x})=0\]

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 0.
Για x<0 είναι f(x)=e^{x^3-3x^2} και ισχύει:

    \[f'(x)=e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x)\]

Το πρόσημο του e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) φαίνεται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 2$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ e^{x^3-3x^2} $ & & $ +$ & $ 0$ & \cellcolor{gray!25} $ +$ &\cellcolor{gray!25} $ |$ &\cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline $ 3x^2-6x $ & & $ +$ &$ |$ & \cellcolor{gray!25} $ -$ &\cellcolor{gray!25}$ 0 $ & \cellcolor{gray!25}$ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline $ e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) $ & & $ +$ &$ 0$ & \cellcolor{gray!25} $ $ & \cellcolor{gray!25}$ |$ &\cellcolor{gray!25} $ $ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline \end{tabular}\]

Επίσης για x>0 είναι f(x)=x^2e^{1-x} και ισχύει:

    \begin{align*} &f'(x)=\\ &=2xe^{1-x}-x^2e^{1-x}\\ &=xe^{1-x}(2-x) \end{align*}

Το πρόσημο του xe^{1-x}(2-x)φαίνεται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 2$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ x $ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ +$ & \\ \hline $ e^{1-x} $ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}$ +$ &$ |$ & $ +$ &$ | $ & $ +$ & \\ \hline $ 2-x $ & \cellcolor{gray!25} &\cellcolor{gray!25} $ +$ &$ |$ & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \\ \hline $ xe^{1-x}(2-x) $ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} $ $ &$ |$ & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \\ \hline \end{tabular}\]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

    \[\begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 2$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ e^{x^3-3x^2}(3x^2-6x) $ & & $ +$ & $ 0$ &\cellcolor{gray!25} $ -$ & \cellcolor{gray!25}$ |$ &\cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline $ xe^{1-x}(2-x) $ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25}$ +$ &$ 0$ & $ +$ &$ 0 $ & $ -$ & \\ \hline $ f' $ & & $ +$ &$ 0$ & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & \\ \hline $f $ & & $\nearrowtail $ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & \\ \hline \end{tabular}\]

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0] και στο (0,2] και γνησίως φθίνουσα στο [2,+\infty). Επειδή ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 0^-}f(x)>\lim_{x \to 0^+}f(x)\]

η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,2].

Παράδειγμα.2.

Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $-e^{1-x}(x^2+x+1),$ &$x\leq1$ \\\\ $x^2-8\ln x-5,$ & $x>1$\\ \end{tabular} \right. \]

Λύση
Για τη συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $-e^{1-x}(x^2+x+1),$ &$x\leq1$ \\\\ $x^2-8\ln x-5,$ & $x>1$\\ \end{tabular} \right. \]

Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} =1 δηλαδή εξετάζουμε αν ισχύει ότι

    \[\lim_{x\to 1} f(x) =f(1).\]

Για x<1 ισχύει ότι:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1^-}f(x)=\\ &\lim_{x \to 1^-}(-e^{1-x}(x^2+x+1))=-3. \end{align*}

Για x>1 ισχύει ότι:

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1^+}f(x)=\\ &\lim_{x \to 1^+}(x^2-8\ln x-5))=-4. \end{align*}

Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 1.
Για x<1 είναι f(x)=-e^{1-x}(x^2+x+1) και ισχύει:

    \begin{align*} &f'(x)=e^{1-x}(x^2+x+1)-e^{1-x}(2x+1)\Leftrightarrow \\\\ &f'(x)=e^{1-x}(x^2-x) \end{align*}

Το πρόσημο του e^{1-x}(x^2-x) φαίνεται στον πίνακα:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 1$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ e^{1-x} $ & & $ +$ & & $ +$ & \cellcolor{gray!25} $ 0$ & \cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline $ x^2-x $ & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ &\cellcolor{gray!25} $ 0$ &\cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline $e^{1-x}(x^2-x)$ & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ &\cellcolor{gray!25} $ 0$ & \cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} \\ \hline \end{tabular} \]

Επίσης για x>1 είναι f(x)=x^2-8lnx-5 και ισχύει:

    \begin{align*} &f'(x)=2x-\frac{8}{x}\Leftrightarrow\\ &f'(x)=\frac{2x^2-8}{x} \end{align*}

Το πρόσημο του

    \[\frac{2x^2-8}{x}\]

φαίνεται στον πίνακα:

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-2$ & & $ 0$ &$1$ & &$2$ & {\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $ 2x^2-8$ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} $ +$ &\cellcolor{gray!25} $ 0$ & \cellcolor{gray!25} $ -$ &\cellcolor{gray!25} $ |$ &\cellcolor{gray!25} $ -$ &$ -$ & $ 0 $ & $+$ & \\ \hline $ x $ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} $ -$ &\cellcolor{gray!25} $ |$ &\cellcolor{gray!25} $ -$ & \cellcolor{gray!25} $ 0 $ &\cellcolor{gray!25} $ +$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \\ \hline $\frac{2x^2-8}{x}$ & \cellcolor{gray!25} & \cellcolor{gray!25} $ -$ & \cellcolor{gray!25} $ |$ & \cellcolor{gray!25} $ +$ & \cellcolor{gray!25} $ |$ &\cellcolor{gray!25} $ -$ &$ -$ & $|$ & $+$ & \\ \hline \end{tabular} \]

Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται στο πίνακα:

    \[\tiny{ \begin{tabular}{|r| l c c c c c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-2$ & & $ 0$ & &$1$ & &$2$ &{\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $ \frac{2x^2-8}{x}$ & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ -$ & $|$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $ e^{1-x}(x^2-x) $ & & $ +$ &$ |$ & $ +$ &$ 0 $ & $ -$ & $0$ & $+$ & $|$ & $+$ & \\ \hline $f'$ & & $ +$ &$ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ -$ & $|$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $f$ & & $ \nearrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & \\ \hline \end{tabular}}\]

  • Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0] επειδή στο -2 η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε x<1, αφου f(x) =-e^{1-x}(x^{2}+x+1), είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
    Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο [2,+\infty)
  • Επιπλέον η συναρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1] και στο (1,2].
    Επειδή ισχύει ότι:

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)>\lim_{x \to 1^+}f(x)\]

    έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο [0,2].

Δείτε την αντίστοιχη άσκηση για τον υπολογισμό της μονοτονίας με τη χρήση του ορισμού.
http://diakopoulos.net/2016/03/25/%ce%b5%cf%85%cf%81%ce%b5%cf%83%ce%b7-%ce%bc%ce%bf%ce%bd%ce%bf%cf%84%ce%bf%ce%bd%ce%b9%ce%b1%cf%83-%ce%bc%ce%b5-%cf%84%ce%b7-%cf%87%cf%81%ce%b7%cf%83%ce%b7-%cf%84%ce%bf%cf%85-%ce%bf%cf%81%ce%b9%cf%83/

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *