Γ Λυκείου / ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x^3+3\alpha x^2+6x-4 \quad \text{με} \,\alpha\in\rr.
Να βρείτε για ποιές τιμές του \alpha η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

Λύση

Για κάθε x\in\rr ισχύει ότι:

    \begin{align*} &f'(x)=6x^2+6\alpha x+6\Leftrightarrow \\ &f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1). \end{align*}

Το πρόσημο της f' καθορίζεται από το τριώνυμο x^2+\alpha x +1. Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα:

    \[\Delta=\alpha^2-4\]

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν

    \begin{align*} &\Delta>0 \Leftrightarrow\\ &\alpha^2-4>0 \Leftrightarrow\\ & \alpha^{2} >4\Leftrightarrow \\ &\sqrt{\alpha^{2}} >\sqrt {4} \Leftrightarrow \\ & |\alpha|> 2\Leftrightarrow \\ & \alpha<-2 \quad \text{ή} \quad \alpha>2 \end{align*}

τότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες \rho_1<\rho_2.
Άρα το πρόσημο της f' θα δίνεται από τον πίνακα:

    \[\small{ \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $\rho_1$ & & $ \rho_2$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1) $ & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \\ \hline $ f $ & & $ \nearrowtail$ &$ |$ & $ \searrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & \\ \hline \end{tabular} } \]

Δηλαδή η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο \rr, άρα η περίπτωση \Delta>0 απορρίπτεται.
Αν

    \begin{align*} &\Delta=0 \Leftrightarrow\\ &\alpha^2-4=0 \Leftrightarrow\\ &\alpha ^{2} = 4\Leftrightarrow\\ &\alpha=\pm2 \end{align*}

τότε το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα \rho.
Στην περίπτωση αυτή ισχύει f'(x)\geq0 για κάθε x\in\rr και η ισότητα f'(x)=0 ισχύει μόνο για x=\rho, όπου η f είναι συνεχής, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

    \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $\rho$ & & {\quad\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1)$ & & $ +$ & $ 0$ & $ +$ & & \\ \hline $ f$ & & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \nearrowtail$ & & \\ \hline \end{tabular}\\ \]

Αν

    \begin{align*} &\Delta<0 \Leftrightarrow\\ &\alpha^2-4<0 \Leftrightarrow\\ & \alpha^{2} <4\Leftrightarrow \\ &\sqrt{\alpha^{2}} <\sqrt {4} \Leftrightarrow \\ & |\alpha|<2\Leftrightarrow \\ &-2<\alpha<2 \end{align*}

τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του προσήμου του x^2 για κάθε x\in\rr.
Στην περίπτωση αυτή ισχύει f'(x)>0 για κάθε x\in\rr. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.

    \[ \begin{tabular}{|r| l r r r c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & & & {\quad\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $ f'(x)= 6(x^2+\alpha x +1)$ & & & $ +$ & & & \\ \hline $ f$ & & & $ \nearrowtail$ & & & \\ \hline \end{tabular}\\ \]

Τελικά η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr όταν

    \begin{align*} &\Delta\leq0 \Leftrightarrow\\ &-2\leq\alpha\leq2 \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *