ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr$

Να βρείτε τις τιμές των $\alpha$ και $\beta,$ ώστε η ευθεία $(\epsilon): y=2x-1$ είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty.$

Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}$

έχει πεδίο ορισμού το $A_f=\rr-\{2\}.$
Αφού η $C_f$ έχει πλάγια ασύμπτωτη την $(\epsilon): y=2x-1$ στο $+\infty$ ισχύουν:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-2x)=-1$

Έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \Rightarrow\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}}{x}=2 \Rightarrow\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \quad (1) \end{align*}$

Αν $\alpha\neq0$ τότε έχουμε:

$(1) \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^{2}}{x^{2}}=2\Leftrightarrow \alpha = 2.$

Αν $\alpha=0$ τότε έχουμε:

$(1) \Rightarrow &\lim_{x \to +\infty}\frac{0\cdot x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}\frac{\beta x}{x^{2}}=2$

όπου για κάθε τιμή του $\beta$ το παραπάνω όριο μας κάνει $0 \neq 2,$ οπότε άτοπο.
Έτσι ο τύπος της συνάρτησης $f,$ για $\alpha = 2$ γίνεται:

$f(x)=\dfrac{2x^2+\beta x}{x-2}$

και έχουμε:

$\begin{align*} \lim_{x \to +\infty}&(f(x)-2x)=-1 \Leftrightarrow\\ \lim_{x \to +\infty}&\big{(}\frac{2x^2+\beta x}{x-2}-2x\big{)}=-1 \Leftrightarrow\\ \lim_{x \to +\infty}&\frac{2x^2+\beta x-2x^2+4x}{x-2}=-1 \Leftrightarrow\\ \lim_{x \to +\infty}&\frac{(\beta+4)x}{x-2}=-1 \Leftrightarrow\\ &\beta+4=-1 \Leftrightarrow\\ &\beta=-5. \end{align*}$