ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία $y=4x+2$ είναι πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ της $C_f$ . Να βρεθούν τα όρια

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}$

Λύση
Αφού η $C_f$ έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία

$y=4x+2$

ισχύουν:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=4 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-4x)=2$

Για να υπολογίσουμε το όριο

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010}$

διαιρούμε με το $x^2$ τους όρους του κλάσματος και το όριο γίνεται:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)-4x}{\frac{f(x)}{x}-\frac{2010}{x^2}}=\frac{2}{4-0}=\frac{1}{2} \end{align*}$

Για να υπολογίσουμε το όριο

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}=\lim_{x \to +\infty}\frac{xf(x)+f(x)-4x^2}{3x-2010}$

διαιρούμε με το $x$ τους όρους του κλάσματος και το όριο γίνεται:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{xf(x)+f(x)-4x^2}{3x-2010}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)+\frac{f(x)}{x}-4x}{3-\frac{2010}{x}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)}{x}+f(x)-4x}{3-\frac{2010}{x}}=\frac{4+2}{3}=2 \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31