Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΠΡΟΣ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=+\infty με x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}

και υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για μορφές

    \[\frac{+\infty}{-\infty},\frac{-\infty}{+\infty},\frac{-\infty}{-\infty}\]

ισχύει και για πλευρικά όρια και μπορεί αν εφαρμοστεί περισσότερες από μία φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις του.

Παράδειγμα.
Να υπολογίσετε το \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}
Λύση
Παρατηρούμε ότι:

    \[\lim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\]

και

    \[\lim_{x \to +\infty}x=+\infty\]

Το όριο είναι της μορφής \dfrac{+\infty}{+\infty}.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα de L’Hospital:

    \begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\\\\ &\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *