Αν ισχύουν
![\[\lim_{x \to x_0}f(x)=0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8794b3fb71bb88d38212404a3b8aabde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου 
, τότε το όριο:
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-863810ffa31334ec7d95782d003e86a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
έχει την απροσδιόριστη μορφή 
. Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής:
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}...\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35c360e746a666072639c9dc74520103_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ή αλλιώς
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}...\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6fe143b768cda87cb45f3fbecb62dc35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Σε κάθε περίπτωση αν πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του de L’Hospital.
Παράδειγμα.1
Να υπολογίσετε το όριο 
Λύση
Έχουμε 
Οπότε:
![\begin{align*} &\lim_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x = \\ &\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{ \frac{1}{ x}} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\ &\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\big(\ln x\big)'}{\big( \frac{1}{ x}\big)'}=\\ & \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\frac{1}{x}}{ -\frac{1}{ x^{2}}}=\\ &\lim_{x\to0^{+}}(-x) = 0. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2ea2d04310be06ffc37fca50268aa87_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.2
Να υπολογίσετε το όριο 
Λύση
Έχουμε 
Οπότε:
![\begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}x\cdot e^{x} = \\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ x}{ \frac{1}{ e^{x}}}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ x}{ e^{-x}} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\ & \lim_{x\to -\infty}\dfrac{( x)'}{( e^{-x})'} =\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{- e^{-x}} \xlongequal[]{(\frac{1}{-\infty})} 0\\ \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-198410b105a0e25543fd48129a028b9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα.3
Να υπολογίσετε το όριο
![\[\lim_{x \to +\infty}[x(e^{\frac{1}{x}}-1)]\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9eff7aabb2e2dd307e5de5954a234414_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε:
![\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}[x(e^{\frac{1}{x}}-1)] \xlongequal{(+\infty)\cdot 0}\\ &\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\frac{e^\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}\Big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{(e^\frac{1}{x}-1)'}{\big(\frac{1}{x}\big)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot e^\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}e^\frac{1}{x}= e^{0} =1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f2822cec300144b879516468a6f4d8e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .