ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ισχύουν

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty$

όπου $x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}$ , τότε το όριο:

$\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]$

έχει την απροσδιόριστη μορφή $(+\infty)-(+\infty)$ ή $(-\infty)-(-\infty)$ . Για να υπολογίσουμε όρια αυτής της μορφής συνήθως βγάζουμε κοινό παράγοντα την $f(x)$ ή τη $g(x)$ .

$\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x \to x_0}\bigg{[}f(x)\Big(1-\frac{g(x)}{f(x)}\Big)\bigg{]}$

‘Οπου το όριο

$\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}$

είναι της μορφής $\frac{\infty}{\infty}$ και αν πληρούνται οι προυποθέσεις εφαρμόζουμε το κανόνα De L’Hospital.

Στις περιπτώσεις που η απροσδιόριστη μορφή άπειρο μείον άπειρο $(\infty - \infty)$ προκύπτει απο τη διαφορά των συναρτήσεων $e^{x}, x^{\nu}$ με $\nu \in \nn^*$ και $\ln x$ όταν το $x\to +\infty,$ έχουμε τα παρακάτω σχόλια:

Rendered by QuickLaTeX.com

Στην περιοχή του $+\infty,$ ισχύει ότι:

$e^{x}> x^{\nu}>\ln x$

Το οποίο εύκολα βλέπουμε απο τις σχετικές γραφικές παραστάσεις.

Η εκθετική $e^{x}$ πηγαίνει πιο “γρήγορα” στο $+\infty$ και η $x^{\nu}$ πιο “γρήγορα” στο $+\infty$ απ’ο την $\ln x$
και το όριο καθορίζεται απο αυτη που πηγαίνει στο άπειρο πιο γρήγορα.

Σ’αυτές τις περιπτώσεις βγάζουμε κοινό παράγοντα τη συνάρτηση που πηγαίνει πιο “γρήγορα” στο $+\infty.$

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το όριο

$\lim_{x \to +\infty}(e^x-\ln x)$

Λύση
Έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}(e^x-\ln x) \xlongequal[]{+\infty-(+\infty)}\\\\\ &=\lim_{x \to +\infty}\big{[}e^x(1-\frac{\ln x}{e^x})\big{]} \end{align*}$

Όμως είναι:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\big{(}\frac{\ln x}{e^x}\big{)} \xlongequal[D.L.H]{\frac{+\infty}{+\infty}}\\\\\\ &=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)'}{(e^x)'}\\\\ &=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{e^x}\\\\ &=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{xe^x}= \dfrac{1}{+\infty}=0. \end{align*}$

Άρα το όριο γίνεται:

$\begin{align*} \lim_{x \to +\infty}&\bigg{[}e^x\big(1-\frac{\ln x}{e^x}\big)\bigg{]}=\\ &+\infty\cdot(1-0)=+\infty \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Στεργίου-Νάκης εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά