Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση 
της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο 
την ευθεία 
. Να υπολογίσετε το όριο
![\[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-776de30a66e0cc70be77f80fb7a959e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Αφού η συνάρτηση 
έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία ισχύουν:
![\[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-2x)=-1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc05dc212919010af001caf2e3f9c3b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Διαιρούμε το ζητούμενο όριο με 
και γίνεται:
![\[\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2}}{\frac{x^2f(x)-2x^3}{x^2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{f(x)}{x}\frac{\ln(1+e^x)}{x}}{f(x)-2x}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d13cd70e26e5be2987a1e0cd82a6539_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έχουμε:
![\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x} \xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{[\ln(1+e^x)]'}{(x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{e^x}{1+e^x}}{1}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{1+e^x}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}\\\\ & \lim_{x \to +\infty}\frac{(e^x)'}{(1+e^x)'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{e^x}=1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5157432cff7368937d97830e8536ee9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται:
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .