ορισμενο-ολοκληρωμα-που-περιεχει-δυναμεις-πρωτοβαθμιων-πολυωνυμων

Στις περιπτωσεις υπολογισμου ορισμένου ολοκληρώματος που που περιέχει πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής:
$\dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{2}\big) \,dx \,\, \text{ή} \,\, \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{3}\big) \,dx, \, \kappa \in \rr^{*}$
εκτελουμε τις γνωστές ταυτότητες.

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.$

Λύση

Επειδή το $x-1,$ είναι υψωμένο στο τετράγωνο εκτελούμε τη γνωστή ταυτότητα του αθροίσματος στο τετράγωνο.Δείτε την συνέχεια της λύσης εδώ

Στις περιπτώσεις όπου η δυνάμη του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου είναι μεγαλύτερη του $3$ έχουμε την παρακάτω αντικατάσταση:

$\int_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{\nu}\big)\, dx \quad \text{με} \quad \kappa \in \rr^{*}.$

θετουμε $\kappa x +\lambda = u \Leftrightarrow x = \dfrac{u-\lambda}{\kappa}$

οπότε $\, \big(\kappa x +\lambda\big)' dx = (u)'\, du \Rightarrow \kappa \,dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{\kappa}\, du.$

και αλλάζουμε τα άκρα τις ολοκλήρωσης ως προς τη νέα μεταβλητή $u$ δηλαδή:
το $\alpha$ θα το αντικαταστήσουμε με $\kappa \alpha +\lambda$
και
το $\beta$ θα το αντικαταστήσουμε με $\kappa \beta +\lambda$

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx.$

Λύση

$\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx.$

Θέτουμε: $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad \quad \quad \, 2x-3 =u \Rightarrow x =\dfrac{u+3}{2}.$
Επιπλέον

$\begin{align*} &(2x-3)'dx =(u)'du \Rightarrow\\ &2\cdot dx = du \Rightarrow\\ & dx = \dfrac{1}{2} dx \end{align*}$

Επίσης
για $x =\dfrac{3}{2}$ και $2x-3 =u$ έχουμε $2\cdot \dfrac{3}{2} -3 =u \Rightarrow u =0$
και
για $x = 2$ και $2x-3 =u$ έχουμε $2\cdot 2 -3 =u \Rightarrow u =1$

Συνεπώς κάνοντας τις παραπάνω αντικαταστάσεις στο αρχικό ολοκλήρωμα έχουμε:

$\begin{align*} &\int_{\frac{3}{2}}^{2}x\cdot (2x-3)^{5}\, dx =\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u+3}{2}\cdot u^{5}\cdot \dfrac{1}{2} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u+3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{u}{4}+ \dfrac{3}{4}\Big)\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u}{4}\cdot u^{5}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{u\cdot u^{5}}{4}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{ u^{6}}{4}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot u^{6}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx\\\\ \end{align*}$

Επειδή ισχύει $\Bigg(\dfrac{u^{7}}{7}\Bigg)'=u^{6}$ και $\Bigg(\dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)'= u^{5}$ έχουμε:

$\begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot u^{6}+ \dfrac{3}{4}\cdot u^{5} \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\dfrac{1}{4}\cdot \Bigg( \dfrac{u^{7}}{7}\Bigg)'+ \dfrac{3}{4}\cdot\Bigg( \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)' \,dx=\\\\ &\int_{0}^{1}\Bigg(\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg)' \,dx=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{6}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{7}}{7}+ \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{6}}{2}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg[\dfrac{1}{28}\cdot u^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot u^{6}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg (\dfrac{1}{28}\cdot 1^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot 1^{6}\Bigg)-\Bigg (\dfrac{1}{28}\cdot 0^{7}+ \dfrac{1}{8}\cdot 0^{6}\Bigg)=\\\\ &\dfrac{1}{28}+ \dfrac{1}{8} - 0= \dfrac{9}{56}. \end{align*}$

Όταν έχουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της μορφής:

$\int_{\alpha}^{\beta}(\kappa x +\lambda)^{\nu} \cdot (\gamma x +\delta)^{\mu}\, dx.$

Θέτουμε ως $u$ όποιο από τα διώνυμα $\kappa x +\lambda$ ή $\gamma x +\delta$ είναι υψωμένο σε μεγαλύτερη δύναμη.

Παράδειγμα.3.
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx.$

Λύση

$\int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx.$

Θέτουμε: $2x+1=u\Rightarrow x =\dfrac{u-1}{2}.$

Επιπλέον

$\begin{align*} &(2x+1)' dx=(u)' du \Rightarrow \\\\ & 2\cdot dx = du \Rightarrow \\\\ & dx =\dfrac{1}{2}\cdot du. \end{align*}$

Επίσης
για $x=-\dfrac{1}{2}$ και $2x+1=u\Rightarrow 2\cdot (-\dfrac{1}{2})+1=u\Rightarrow u=0.$
και
για $x=0$ και $2x+1=u\Rightarrow 2\cdot 0+1=u\Rightarrow u=1.$

Οπότε το αρχικό ολοκλήρωμα με τις παραπάνω αντικαταστάσεις γίνεται:

$\begin{align*} & \int_{-\frac{1}{2}}^{0}(4x-3)^{2}\cdot (2x+1)^{11}\,\, dx\\\\ & \int_{0}^{1}\Big(4\cdot\dfrac{u-1}{2} -3\Big)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1}\Big(2\cdot (u-1) -3\Big)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} (2u-2 -3)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} (2u-5)^{2}\cdot u^{11} \cdot\dfrac{1}{2}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \dfrac{1}{2}\cdot(2u-5)^{2}\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \dfrac{1}{2}\cdot(4u^{2}-20u+25)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Big(2u^{2}-10u+\dfrac{25}{2}\Big)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Big(2u^{2}-10u+\dfrac{25}{2}\Big)\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} 2\cdot u^{13}-10\cdot u^{12}+\dfrac{25}{2}\cdot u^{11}\, du \end{align*}$

Επειδή ισχύει $\Bigg(\dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'=u^{13},$ $\Bigg(\dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'=u^{12}$ και $\Bigg(\dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'=u^{11}.$

Έχουμε:

$\begin{align*} & \int_{0}^{1} 2\cdot u^{13}-10\cdot u^{12}+\dfrac{25}{2}\cdot u^{11}\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} 2\cdot \Bigg(\dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'-10\cdot \Bigg(\dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\dfrac{25}{2}\cdot \Bigg(\dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( 2\cdot \dfrac{u^{14}}{14}\Bigg)'-\Bigg(10\cdot \dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\Bigg(\dfrac{25}{2}\cdot \dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{u^{14}}{7}\Bigg)'-\Bigg(10\cdot \dfrac{u^{13}}{13}\Bigg)'+\Bigg(\dfrac{25}{2}\cdot \dfrac{u^{12}}{12}\Bigg)'\, du=\\\\ & \int_{0}^{1} \Bigg( \dfrac{1}{7}\cdot u^{14}- \dfrac{10}{13}\cdot u^{13}+\dfrac{25}{24}\cdot u^{12}\Bigg)'\, du=\\\\ &\Bigg [\dfrac{1}{7}\cdot u^{14}- \dfrac{10}{13}\cdot u^{13}+\dfrac{25}{24}\cdot u^{12}\Bigg]_{0}^{1}=\\\\ &\Bigg (\dfrac{1}{7}\cdot 1- \dfrac{10}{13}\cdot 1+\dfrac{25}{24}\cdot 1\Bigg)-\Bigg (\dfrac{1}{7}\cdot 0- \dfrac{10}{13}\cdot 0+\dfrac{25}{24}\cdot 0\Bigg) =\\\\ & \dfrac{1}{7} - \dfrac{10}{13} +\dfrac{25}{24}-0= \dfrac{907}{2184}. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά