Αρχείο κατηγορίας ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Σχολιάστε

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Καθορισμός διανύσματος \vec{\alpha} ως γραμμίκο συνδυασμό των μοναδιαίων διανυσμάτων \vec{i} και \vec{j}.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Σχολιάστε

Από τον ορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος προκύπτει ότι:
“Δύο διανύσματα είναι ίσα, αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.”

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Σχολιάστε

Μηδενικό και μη μηδενικό διάνυσμα

Επειδή το μηδενικό διάνυσμα έχει συντεταγμενες

    \[\vec{0}= (0,0)\]

Τότε για κάθε διάνυσμα \vec{\alpha}=(\mathrm{x,y}).
Ισχύουν τα εξής:

    \begin{align*} & \vec{\alpha}=\vec{0} \Leftrightarrow (\mathrm{x}=0 \quad \text{και} \quad \mathrm{y}=0) \\ & \vec{\alpha} \neq \vec{0} \Leftrightarrow (\mathrm{x} \neq 0\quad \text{ ή } \quad \mathrm{y} \neq 0). \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Σχολιάστε

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Έστω ένα διάνυσμα

    \[\vec{\alpha} =(\mathrm{x,y}).\]

  • Το \vec{\alpha} είναι παράλληλο στον άξονα x'x, αν και μόνο αν η τεταγμένη του είναι ίση με 0. Δηλαδή:

        \[\vec{\alpha} \parallel x'x \Leftrightarrow y=0\]

Διάνυσμα {\vec{\alpha} παράλληλο στον x'x
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Σχολιάστε
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Αν \vec{\alpha}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και \vec{\beta}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2), τότε ισχύουν:

  • \vec{\alpha}+\vec{\beta}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)+(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)=(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2)
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}=\lambda \cdot (\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y_1}),\lambda \in \mathbb{R}
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}+\mu \cdot \vec{\beta}=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1 + \mu \cdot \mathrm{x}_2, \lambda \cdot \mathrm{y_1}+\mu \cdot \mathrm{y_2}), \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Απόδειξη
Για τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος \vec{\alpha} ισχύουν:

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Σχολιάστε

 

Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω AB ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2). Αν Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε ισχύει ότι:

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

Σχολιάστε

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

Οι συντεταγμένες του διανύσματος \overrightarrow{AB} με αρχή το σημείο Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και τέλος (πέρας) το σημείο Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) υπολογίζονται ως εξής:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\]

δηλαδή:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1 \, \,, \mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

Σχολιάστε

Κέντρο παραλληλογράμμου
Στις ασκήσεις με παραλληλόγραμμο πρέπει να λαμβάνουμε υπόψιν τις παρακάτω ιδιότιτες:

  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
  • Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Σχολιάστε
  • Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο \overset{\triangle}{ΑB\Gamma} διάμεσος ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
  • Είναι προφανές ότι σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά

.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Σχολιάστε

    \section{\greektext Μέτρο διανύσματος} Αν $\vec{α}=(\mathrm{x,y})$ ένα διάνυσμα του Καρτεσιανού επιπέδου, \\τότε το μέτρο του διανύσματος $\vec{α}$ δίνεται από τον τύπο: $$|\vec{α}|=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}$$ \textbf{Απόδειξη}\\ Θεωρούμε σημείο $Α$ με διανυσματική ακτίνα:\\ $$\overrightarrow{OA}=\vec{α}=(\mathrm{x,y})$$

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ →