ΜΕΤΡΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός μέτρου της μορφής $\vert \boldsymbol{\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta}} \rvert$

Αν για τα διανύσματα $\vec{α}, \vec{\beta}$ γνωρίζουμε το μέτρο τους $|\vec{α}|, |\vec{\beta}|$ και την γωνία τους $(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}),$ τότε μπορούμε να βρούμε ένα μέτρο της μορφής $\lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert$
υψώνοντας το στο τετράγωνο και χρησιμοποιόντας την ιδιότητα $\vec{α}^{2} = |\vec{α}|^{2}.$

Η εύρεση του ζητούμενου μέτρου γίνεται ως εξής:
Υπολογίζουμε αρχικά το:

$\begin{align*} \lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert^{2} &= (\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2} \\\\ &= \kappa^{2} \vec{α} + 2\kappa\lambda\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \vec{\beta}^{2} \\\\ &= \kappa^{2} \lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2\kappa\lambda\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2}\\\\ &= \kappa^{2} \lvert \vec{α} \rvert^{2} + 2\kappa\lambda\lvert \vec{α} \rvert \cdot |\vec{\beta}|\syn(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) + \lambda^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \end{align*}$

Αφού γνωρίζουμε το μέτρο των $|\vec{α}|, |\vec{\beta}|$ και την γωνία τους $(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}),$ ειναι γνωστο το $\lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert^{2}$ από όπου στη συνέχεια βρίσκουμε το $\lvert \kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta} \rvert.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α},\vec{\beta}}) \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 3 \cdot 4 \sigma \upsilon \nu\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 3 \cdot 2 \Leftrightarrow$

$\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 6$

β) Έχουμε:

$\begin{align*} \lvert \vec{α} - 2\vec{\beta} \rvert^{2} &= (\vec{α} - 2\vec{\beta})^{2} \\\\ &= \vec{α}^{2} - 4 \vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4 \vec{\beta}^{2} \\\\ &= \lvert \vec{α} \rvert^{2} - 4\vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4 \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \\\\ &= 3^{2} - 4 \cdot 6 + 4 \cdot 4^{2} \\\\ &= 9 - 24 +64 = 49. \end{align*}$