ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

$\boldsymbol{Μ(f(\lambda), g(\lambda))}$

Έστω ότι έχουμε σημεία της μορφής $Μ(f(\lambda), g(\lambda)),$ όπου $f(\lambda)$ και $g(\lambda)$ συναρτήσεις που έχουν μεταβλητή το $\lambda.$ Για να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $Μ$ , εργαζόμαστε ως εξής:
Θέτουμε $\mathrm{x} = f(\lambda)$ και $\mathrm{y} = g(\lambda),$ οπότε είναι $Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}),$ και προσπαθούμε να βρούμε μια ισότητα που να συνδέει τα $\mathrm{x}$ και $\mathrm{y}$ και δεν περιέχει το $\lambda.$ Προσπαθούμε δηλαδή να κάνουμε την απαλοιφή του $\lambda.$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Γεωμετρικό τόπο ονομάζουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο σημείων του επιπέδου που ανήκουν πάνω σε μία συγκεκριμένη καμπύλη την εξίσωση, της οποίας ψάχνουμε να βρούμε.
Στην συγκεκριμένη ενότητα ο γεωμετρικός τόπος παραμετρικών σημείων της μορφής

$\boldsymbol{Μ(f(\lambda), g(\lambda))},$

που εξετάζουμε, θα ορίζουν ευθεία στο επίπεδο.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

Έστω ότι είναι $Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ το τυχαίο σημείο του επιπέδου $xOy,$ τότε αφου τα σημεία είναι ταυτιζόμενα

$M(x,y)\equiv M(\lambda + 3, 4\lambda - 5),$

έχουμε:

$\begin{align*} &\left\{\begin{aligned} x &=\lambda+3 \\ y &=4 \lambda-5 \end{aligned}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=x-3} \\ {y=4(x-3)-5}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\lambda=x-3} \\ {y=4x-12-5}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\lambda=x-3} \\ {y=4 x-17}\end{array}\right\} \end{align*}$

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου $Μ$ ικανοποιούν την εξίσωση: $\mathrm{y} = 4\mathrm{x} - 17.$
Επομένως το σημείο $Μ$ κινείται πάνω στην ευθεία $(\epsilon)$ με εξίσωση $(\epsilon):\mathrm{y} = 4\mathrm{x} - 17.$